3. (2014•江西抚州，第24题，10分)

【试题背景】已知：∥ ∥ ∥，平行线与 、 与 、 与之间的距离分别为 1、 2、 3，且 1 = 3 = 1， 2 = 2 . 我们把四个顶点分别在、 、 、这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”.

【探究1】 ⑴ 如图1，正方形 为“格线四边形”， 于点 , 的反向延长线交直线于点 . 求正方形 的边长.

【探究2】 ⑵ 矩形 为“格线四边形”，其长 ：宽 = 2 ：1 ，则矩形 的宽为 . (直接写出结果即可)

【探究3】 ⑶ 如图2，菱形 为“格线四边形”且∠ =60°，△ 是等边三角形， 于点 ， ∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 . 求证： .

【拓 展】 ⑷ 如图3，∥，等边三角形 的顶点 、 分别落在直线、上， 于点 ，且 =4 ，∠ =90°，直线 分别交直线、于点 、 ，点 、 分别是线段 、 上的动点，且始终保持 = ， 于点 .

猜想： 在什么范围内， ∥ ?并说明此时 ∥ 的理由.

解析：(1) 如图1，

∵BE⊥l , l ∥k ,

∴∠AEB=∠BFC=90°,

又四边形ABCD是正方形，

∴∠1+∠2=90°，AB=BC, ∵∠2+∠3=90°, ∴ ∠1=∠3,

∴⊿ABE≌⊿BCF(AAS),

∴AE=BF=1 , ∵BE=d1+d2=3 , ∴AB= ,

∴正方形的边长是 .

(2)如图2,3，

⊿ABE∽⊿BCF,

∴ 或

∵BF=d3=1 ,

∴AE= 或

∴AB= 或

AB=

∴矩形ABCD的宽为 或 .

(注意：要分2种情况讨论)

(3)如图4，

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=DC,

又∠ADC=60°,

∴⊿ADC是等边三角形，

∴AD=AC，

∵AE⊥k , ∠AFD=90°, ∴∠AEC=∠AFD=90°，

∵⊿AEF是等边三角形， ∴ AF=AE,

∴⊿AFD≌⊿AEC(HL), ∴EC=DF.

(4)如图5，

当2

理由如下：

连接AM,

∵AB⊥k , ∠ACD=90°,

∴∠ABE=∠ACD=90°,

∵⊿ABC是等边三角形，

∴AB=AC ,

已知AE=AD, ∴⊿ABE≌⊿ACD(HL)，∴BE=CD;

在Rt⊿ABM和Rt⊿ACM中，

，∴Rt⊿ABM≌Rt⊿ACM(HL),

∴ BM=CM ;

∴ME=MD,

∴ , ∴ED∥BC.

4. (2014•浙江杭州，第23题，12分)复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣(4kx+1)x﹣k+1(k是实数).

教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上.

学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：

①存在函数，其图象经过(1，0)点;

②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点;

③当x>1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小;

④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数.

教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由.最后简单写出解决问题时所用的数学方法.

考点： 二次函数综合题

分析： ①将(1，0)点代入函数，解出k的值即可作出判断;

②首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假;

③根据二次函数的增减性，即可作出判断;

④当k=0时，函数为一次函数，无最大之和最小值，当k≠0时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断.

解答： 解：①真，将(1，0)代入可得：2k﹣(4k+1)﹣k+1=0，

解得：k=0.

运用方程思想;

②假，反例：k=0时，只有两个交点.运用举反例的方法;

③假，如k=1，﹣ =，当x>1时，先减后增;运用举反例的方法;

④真，当k=0时，函数无最大、最小值;

k≠0时，y最= =﹣ ，

∴当k>0时，有最小值，最小值为负;

当k<0时，有最大值，最大值为正.运用分类讨论思想.

点评： 本题考查了二次函数的综合，立意新颖，结合考察了数学解题过程中经常用到的几种解题方法，同学们注意思考、理解，难度一般.