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第二轮复习二 分类讨论

Ⅰ、专题精讲：

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查.这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法， 领会其实质，对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏.

分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】如图3-2-1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线.直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于点D，OD=2OB=4OA=4.求一次函数和反比例函数的解析式.

解：由已知OD=2OB=4OA=4，

得A(0，-1)，B(-2，0)，D(-4，0).

设一次函数解析式为y=kx+b.

点A，B在一次函数图象上，

∴    即

则一次函数解析式是

点C在一次函数图象上，当 时， ，即C(-4，1).

设反比例函数解析式为 .

点C在反比例函数图象上，则 ，m=-4.

故反比例函数解析式是： .

点拨：解决本题的关键是确定A、B、C、D的坐标。

【例2】如图3-2-2所示，如图，在平面直角坐标 系中，点O1的坐标为(-4 ，0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点O2(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D.

(1)求直线l的解析式;

(2)将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度;

(3)将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG•A O2的值是否会发生变化?如果不变，说明理由并求其值;如果变化，求其变化范围。

解(1)直 线l经过点A(-12，0)，与y轴交于点(0， )，

设解析式为y=kx+b，则b= ，k= ，

所以直线l的解析式为 .

(2)可求得⊙O2第一次与⊙O1相切时，向左平移了5秒(5个单位)如图所示。

在5秒内直线l平移的距离计算：8+12- =30- ，

所以直线l平移的速度为每秒(6- )个单位。

(3)提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O2

于是可得：

所以FG•A O2= ，即其值不变。

点拨：因为⊙O2不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况.

【例3】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩 形ABCD内作半圆，点M为圆心.设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N.

(1)求过A、C两点直线的解析 式;

(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围;

(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标.