考点：

相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质。

专题：

几何综合题。

分析：

（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出相似三角形即可；

（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出 ，进而得出△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的 ，求出DH的长，进而利用S_△DEF的值求出EF即可．

解答：

（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

证明：∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，

又∵∠MDN=∠B，

∴△ADE∽ABD，

同理可得：△ADE∽△ACD，

∵∠MDN=∠C=∠B，

∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDC=90°，

∠B=∠MDN，

∴∠BAD=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴△ADE∽△DCE，

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，

证明：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°

∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE，

由AB=AC，得∠B=∠C，

∴△BDF∽△CED，

∴ ．

∵BD=CD，

∴ ．

又∵∠C=∠EDF，

∴△BDF∽△CED∽△DEF．  

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD= BC=6．

在Rt△ABD中，AD²=AB²﹣BD²，

∴AD=8

∴S_△ABC= BC•AD= ×12×8=48．

S_△DEF= S_△ABC= ×48=12．

又∵ AD•BD= AB．DH，

∴DH= = = ，

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD  

∵DG⊥EF，DH⊥BF，

∴DH=DG= ．

∵S_△DEF= ×EF×DG=12，

∴EF= =5．

点评：

此题主要考查了相似三角形判定与性质以及三角形面积计算，熟练应用相似三角形的性质与判定得出对应用边与对应角的关系是解题关键．

考点：

二次函数综合题。

专题：

综合题。

分析：

（1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；

（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．

（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，﹣ a²+ a+2），分情况讨论，①当P点在y轴右侧时，②当P点在y轴左侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．

解答：

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

∴ ，

解得：

∴y=﹣ x²+ x+2；

当y=2时，﹣ x²+ x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍），

即：点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：

①当AE为一边时，AE∥PD，

∴P₁（0，2），

②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，

可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，

∴P点的纵坐标为﹣2，

代入抛物线的解析式：﹣ x²+ x+2=﹣2

解得：x₁= ，x₂= ，

∴P点的坐标为（ ，﹣2），（ ，﹣2）

综上所述：p₁（0，2）；p₂（ ，﹣2）；p₃（ ，﹣2）．

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣ a²+ a+2），

①当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，

PQ=2﹣（﹣ a²+ a+2）= a²﹣ a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，

∴△COQ′～△Q′FP， ， ，

∴Q′F=a﹣3，

∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣（a﹣3）=3，CQ=CQ′= = ，

此时a= ，点P的坐标为（ ， ），

②当P点在y轴左侧时（如图2）此时a＜0，，﹣ a²+ a+2＜0，CQ=﹣a，

PQ=2﹣（﹣ a²+ a+2）= a²﹣ a，

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴△COQ′～△Q′FP， ， ，Q′F=3﹣a，

∴OQ′=3，

CQ=CQ′= ，

此时a=﹣ ，点P的坐标为（﹣ ， ）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（ ， ），（﹣ ， ）．

点评：

此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．