24.解：(1)∵抛物线 经过A(-3,0)，B(4,0)两点，

∴  解得

∴所求抛物线的解析式为 . ……………………………3分

(2)如图，依题意知AP=t，连接DQ，

由A(-3,0)，B(4,0)，C(0,4)，

可得AC=5，BC= ，AB=7.

∵BD=BC，

∴ .                 …………………………4分

∵CD垂直平分PQ，∴QD=DP，∠CDQ= ∠CDP.

∵BD=BC，∴∠ DCB= ∠CDB.

∴∠CDQ= ∠DCB.∴DQ∥BC.                  …………………………6分

∴△ADQ∽△ABC.∴ .∴ .

∴ .解得  .           …………………7分

∴ .                      …………………………8分

∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 . [来源:学科网ZXXK]

(3)设抛物线 的对称轴 与x轴交于点E.

点A、B关于对称轴 对称，连接BQ交该对称轴于点M.

则 ，即 .…………9分

当BQ⊥AC时，BQ最小.  ………………10分

此时，∠EBM= ∠ACO.

∴ .

∴ .∴ ，

解得 .          ………………11分

∴M( ， ).                              ………………………12分

即在抛物线 的对称轴上存在一点M( ， )，使得MQ+MA的值最小.

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