20.(2012•恩施州)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB.类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′.这是B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.

考点： 黄金分割。

专题： 证明题。

分析： 设正方形ABCD的边长为2，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AB″的长，二者相比即可得到黄金比.

解答： 证明：设正方形ABCD的边长为2，

E为BC的中点，

∴BE=1

∴AE= = ，

又B′E=BE=1，

∴AB′=AE﹣B′E= ﹣1，

∵AB″：AB=( ﹣1)

∴AB″

∴点B″是线段AB的黄金分割点.

点评： 本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键.

21.(2012•恩施州)新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退.

2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船.刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害.某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去.(见图1)

解决问题

如图2，已知“中国渔政310”船(A)接到陆地指挥中心(B)命令时，渔船(C)位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB= 海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时.根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间.

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。

分析： 过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可.

解答： 解：过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ABD中，

∵AB= ，∠B=60°，

∴AD=AB•sin60°= × =70 ，

在Rt△ADC中，AD=70 ，∠C=45°，

∴AC= AD=140，

∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为 =7小时.

答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时.

点评： 本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.

22.(2012•恩施州)小丁每天从某报社以每份0.5元买进报纸200分，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元.

(1)求y与x之间的函数关系式 (要求写出自变量x的取值范围);

(2)如果每月以30天计算，小丁每天至少要买多少份报纸才能保证每月收入不低于2000元?

考点： 一次函数的应用。

分析： (1)因为小丁每天从某市报社以每份0.5元买出报纸200份，然后以每份1元卖给读者，报纸卖不完，当天可退回报社，但报社只按每份0.2元退给小丁，所以如果小丁平均每天卖出报纸x份，纯收入为y元，则y=(1﹣0.5)x﹣(0.5﹣0.2)(200﹣x)即y=0.8x﹣60，其中0≤x≤200且x为整数;

(2)因为每月以30天计，根据题意可得30(0.8x﹣60)≥2000，解之即可求解.

解答： 解：(1)y=(1﹣0.5)x﹣(0.5﹣0.2)(200﹣x)

=0.8x﹣60(0≤x≤200);

(2)根据题意得：

30(0.8x﹣60)≥2000，

解得x≥ .

故小丁每天至少要买159份报纸才能保证每月收入不低于2000元.

点评： 此题主要考查了一次函数的应用，首先要正确理解题意，然后仔细分析题意，正确列出函数关系式，最后利用不等式即可解决问题.

23.(2012•恩施州)如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB.

(1)求证：BC是⊙O的切线;

(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数;

(3)如果CD=15，BE=10，sinA= ，求⊙O的半径.

考点： 切线的判定;勾股定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形。

专题： 几何综合题。

分析： (1)连接OB，有圆的半径相 等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线;

(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数;

(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG= BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt △ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径.

解答： (1)证明：连接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线.

(2)连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60°

∴∠ABF= ∠AOF=30°

(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG= BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE

∴sin∠ECG=sin∠A= ，

∴CE= =13

∴CG= =12，

又CD=15，CE=13，

∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得 =

∴AD= •CG=

∴⊙O的半径为2AD= .

点评： 本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，难度也不小.

24.(2012•恩施州)如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D.

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设点M(3，m)，求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求点E的坐标;若不能，请说明理由;

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值.

考点： 二次函数综合题。

分析： (1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式;

(2)根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′，当M(3，m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小;

(3)需要分类讨论：①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，x+3)和②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，x﹣1)，然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标;

(4)方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，如图1.设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3).根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=﹣x2+x+2;最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=﹣ (x﹣ )2+ ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G，如图2.设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3).根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=﹣ (x﹣ )2+ ，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;

解答： 解：(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1，0)及C(2，3)得，

，

解得 ，

故抛物线为y=﹣x2+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A(﹣1，0)及C(2，3)得

，

解得

故直线AC为y=x+1;

(2)作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′(6， 3)，由(1)得D(1，4)，

故直线DN′的函数关系式为y=﹣ x+ ，

当M(3，m)在直线DN′上时，MN+MD的值最小，

则m=﹣ × = ;

(3)由(1)、(2)得D(1，4)，B(1，2)

∵点E在直线AC上，

设E(x，x+1)，

①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，

则F(x，x+3)，

∵F在抛物线上，

∴x+3=﹣x2+2x+3，

解得，x=0或x=1(舍去)

∴E(0，1);

②当点E在线段AC(或CA)延长线上时， 点F在点E下方，

则F(x，x﹣1)

由F在抛物线上

∴x﹣1=﹣x2+2x+3

解得x= 或x=

∴E( ，  )或( ， )

综上，满足条件的点E为E(0，1)、( ， )或( ， );

(4)方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G，如图1

设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3)

∴PQ=(﹣x2+2x+3)﹣(x﹣1)

=﹣x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ= PQ•AG

= (﹣x2+x+2)×3

=﹣ (x﹣ )2+

∴面积的最大值为 .

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G，如图2，

设Q(x，x+1)，则P(x，﹣x2+2x+3)

又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC= (x+1)(﹣x2+2x+3)+ (﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣ ×3×3

=﹣ x2+ x+3

=﹣ (x﹣ )2+

∴△APC的面积的最大值为 .

点评： 本题考查了二次函数综合题.解答(3)题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解.

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