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常州市中考数学押轴题试题及答案汇集

一、选择题

1. (2001江苏常州2分)已知等式 ，则x的值是【　　】

A.1 B.2 C.3 D.1或3

【答案】A。

【考点】解分式方程，二次根式的性质和化简。

【分析】由等式可知x-2≠0，按照x-2>0，x-2<0分类，将等式化简，解一元二次方程即可：

∵x-2≠0，

∴①当x-2>0时，原等式整理得1+(x-2)2=0，一个正数加一个非负数不可能为0，这种情况不存在。

②当x-2<0，即x<2时，原等式整理得：-1+(x-2)2=0，则x-2=1或x-2=-1，

解得x=3或x=1。

而x<2，所以，只有x=1符合条件。故选A。

2. (江苏省常州市2002年2分)半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比是【 】

A. B. C. 3:2:1 D.1:2:3

【答案】B。

【考点】正多边形和圆，

【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得：

设圆的半径是r，则多边形的半径是r。

则内接正三角形的边长是2rsin60°= r，

内接正方形的边长是2rsin45°= r，

正六边形的边长是r，

∴半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 。故选B。

3. (江苏省常州市2003年2分)已知圆柱的侧面积是 ，若圆柱底面半径为 ，高为 ，则关于 的函数图象大致是【 】

【答案】

【考点】反比例函数的应用。

【分析】根据题意有： ，化简可得 ，故 与 之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义 与 应大于0，其图象在第一象限。故选B。

4. (江苏省常州市2004年2分)当五个数从小到大排列后，其中位数为4。如果这组数据的唯一众数是6，那么这5个数可能的最大的和是【 】

(A)21 (B)22 (C)23 (D)24

【答案】A。

【考点】众数，中位数。

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个。因此，

根据中位数的定义，5个整数从小到大排列时，其中位数为4，前两个数不是众数，因而一定不是同一个数。则前两位最大是2，3。

根据众数的定义可知后两位最大为6，6。

∴这5个整数最大为：2，3，4，6，6。

∴这5个整数可能的最大的和是21。故选A。

5. (江苏省常州市2005年2分)某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时

间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。已知某天0点到6点,进行机组试运行，试

机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示：

给出以下3个判断：

①0点到3点只进水不出水;②3点到4点,不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.

则上述判断中一定正确的是【 】

A、① B、② C、②③ D、①②③

【答案】A。

【考点】函数的图象。

【分析】通过图甲、乙，明确进水速度和出水速度，再根据图丙的折线图，判断进水，出水的状态：

根据图示和题意可知，进水速度是1小时1万立方米，出水速度是1小时2万立方米，

所以，由图丙可知：

①0点到3点只进水不出水;

②3点到4点，一只管进水一只管只出水;

③4点到6点2只管进水一只管出水。

判断正确的是①。故选A。

6. (江苏省常州市2006年2分)已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2 cm

的速度沿图1的边线运动，运动路径为： ，相应的△ABP的面积 关

于运动时间 的函数图像如图2，若AB=6 cm，则下列四个结论中正确的个数有【 】

①图1中的BC长是8 ②图2中的M点表示第4秒时 的值为24

③图1中的CD长是4 ④图2中的N点表示第12秒时 的值为18

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】D。

【考点】动点问题的函数图象。

【分析】根据函数图象可以知：从0到2， 随 的增大而增大，经过了2秒，由动点P以每秒2 cm的速

度运动得，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm;

P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知 ，从而CD=4cm，面积 cm2，即图2中的M点表示第4秒时 的值为24 cm2;

图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2。

∴四个结论都正确。故选D。

7. (江苏省常州市2007年2分)如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】切线的性质

【分析】设QP的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有OD⊥AB。

∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2。

∴由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形。

∴OC+OD=PQ。

由三角形的三边关系知，CF+FD>CD，

只有当点O在CD上时，OC+OD=PQ有最小值为CD的长，即当点O在RtABC斜边AB的高CD上时，PQ=CD有最小值。

由直角三角形的面积公式 得CD=BC•AC÷AB=4.8。故选B。

8. (江苏省常州市2008年2分)甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，

他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，给出下列说法:

(1)他们都骑行了20km;(2)乙在途中停留了0.5h;

(3)甲、乙两人同时到达目的地;(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度.

根据图象信息,以上说法正确的有【 】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】B。

【考点】函数的图象。

【分析】根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断：

由图可获取的信息是：他们都骑行了20km;乙在途中停留了1-0.5=0.5h;相遇后，甲的图象在乙的图象上方，即甲的速度>乙的速度;甲比乙早2.5-2=0.5小时到达目的地。所以(1)(2)正确。故选B。

9. (江苏省2009年3分)下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数： ;

第2个数： ;

第3个数： ;

……

第 个数： .

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【 】

A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个数

【答案】A。

【考点】分类归纳(数字的变化类)。

【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：

第1个数： ;

第2个数： ;

第3个数： ;

按此规律，

第 个数： ;

第 个数： 。

∵ ，

∴ 越大，第 个数越小，所以选A。

10. (江苏省常州市2010年2分)如图，一次函数 的图象上有两点A、B，A点的横坐标为

2，B点的横坐标为a(0

的面积分别为S1、S2，S1与S2的大小关系是【 】

A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1

【答案】A。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系，直角三角形面积公式，代数式大小比较。

【分析】代数式比较大小，可以采用求差法，求商法、求倒法等，本题采用求差法，求出S1和S2，求差即可：

∵A点在一次函数 的图象上，且它的横坐标为a，∴它的纵坐标为1。

∴S1 = ×2×1=1。

又∵B点在一次函数 的图象上，且它的横坐标为a(0

∴它的纵坐标为 。

∴S2 = a(- a+2)=- a2+a。

∴S1- S2= (a-2)2 。

∵00。∴S1>S2。。故选A。

11. (2011江苏常州2分)已知二次函数 ，当自变量 取 时对应的值大于0，当自变量 分别取 、 时对应的函数值为 、 ，则 、 必须满足【 】

A. >0、 >0 B. <0、 <0 C. <0、 >0 D. >0、 <0

【答案】B.

【考点】二次函数，不等式。

故选B。

12. (2012江苏常州2分)已知a、b、c、d都是正实数，且 ，给出下列四个不等式：

① ;② ;③ ;④ 。

其中不等式正确的是【 】

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③

【答案】A。

【考点】不等式的性质。

【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断：

∵a、b、c、d都是正实数，且 ，∴ ，即 。

∴ ，即 ，∴③正确，④不正确。

∵a、b、c、d都是正实数，且 ，∴ 。∴ ，即 。

∴ 。∴①正确，②不正确。

∴不等式正确的是①③。故选A。

二、填空题

1. (2001江苏常州1分).已知x+y=1，则代数式x3+3xy+y3的值是　　▲　　.

【答案】1。

【考点】求代数式的值。

【分析】只要把所求代数式化成已知的形式，然后把已知代入即可：

。

2. (江苏省常州市2002年1分)若│x│+3=│x-3│，则x的取值范围是 ▲ .

【答案】x≤0。

【考点】绝对值的性质。

【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0≤x≤3，x≤0三种情况进行分析：

①当x≥3时，原式可化为：x+3=x-3，无解;

②当0≤x≤3时，原式可化为：x+3=3-x，此时x=0;

③当x≤0时，原式可化为：-x+3=3-x，等式恒成立。

综上所述，x的取值范围是x≤0。

3. (江苏省常州市2003年2分)光线以图所示的角度α照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α=60°，∠β=50°，∠γ= ▲ 度。

【答案】40。

【考点】跨学科问题，反射的性质，平角定义，三角形内角和定理。

【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角、平角定义和三角形内角和定理来求解：

如答图所示，根据反射的性质，得

∠BAC=∠α=60°，∠ABC=180°-2∠β=80°，∠ACB=∠γ。

在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，则

∠ACB=180°-(∠BAC+∠ABC)=40°，即∠γ=40°。

4. (江苏省常州市2004年2分)如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是 ▲ 。

【答案】150。

【考点】矩形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC=∠C=∠DEC=90°，∴四边形DFCE是矩形。

∴DF∥BC，则∠ADF=∠B。又∵∠AFD=∠DEB，∴△ADF∽△DBE。

∴ ，即DE•DF=AF•BE=150。

∴四边形DFCE的面积=DE•DF=150。

5. (江苏省常州市2005年4分)已知抛物线 的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x= ▲ ，满足y<0的x的取值范围是 ▲ ，将抛物线 向 ▲ 平移 ▲ 个单位，则得到抛物线 .

【答案】3;1< <5;上;4。

【考点】二次函数的性质，二次函数图象与平移变换。

【分析】把抛物线的一般式转化为顶点式和交点式，可求对称轴;根据交点式和图象的开口方向，可求

y<0时，x的取值范围.比较需要平移的两个函数式，可以发现平移规律：

∵ ，

∴抛物线的对称轴方程 =3; <0时，1< <5。

∵ 加上4得到 ，

∴抛物线 向上平移4个单位得到抛物线 。

6. (江苏省常州市2006年1分)如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进

10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 ▲ 米。

【答案】120。

【考点】平角定义，多边形内角和定理。

【分析】根据题意，小亮这样走法形成一个正多边形，由平角定义，知正多边形的每个内角等于1500。

∴根据多边形内角和定理，得 ，解得 。

∴照这样法，他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10=120米。

7. (江苏省常州市2007年2分)二次函数 的部分对应值如下表：

…

…

…

…

二次函数 图象的对称轴为 ▲ ， 对应的函数值 ▲ .

【答案】1;-8。

【考点】二次函数的图象和性质。

【分析】由表格的数据可以看出，x=-3和x=5时y的值相同都是7，

∴可以判断出，点(-3，7)和点(5，7)关于二次函数的对称轴对称，

∴对称轴为 。

又∵x=2的点关于对称轴x=1对称的点为x=0，而x=0时，y=-8，

∴x=2时，y=-8。

8. (江苏省常州市2008年3分)若将棱长为2的正方体切成8个棱长为1的小正方体，则所有小正方

体的表面积的和是原正方体表面积的 ▲ 倍;若将棱长为3的正方体切成27个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的 ▲ 倍;若将棱长为n(n>1，且为整数)的正方体切成n3个棱长为1的小正方体，则所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的 ▲ 倍.

【答案】2;3;n。

【考点】几何体的表面积。

【分析】根据正方体的概念和特性以及表面积的计算公式即可解

棱长为n(n>1，n为整数)的正方体的表面积是6n2，把它切成n3个棱长为1的小正方体，则每个小正方体的表面积是6×12=6，则所有小正方体表面积的和是6n3，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的 倍。

当n=2时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的2倍;当n=3时，所有小正方体的表面积的和是原正方体表面积的3倍。

9. (江苏省2009年3分)如图，已知 是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为 ，则梯形ABCD的面积为 ▲ cm2.

【答案】16。

【考点】梯形中位线定理

【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：

设梯形的高为h，

∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为 。

∵△DEF的面积为 ，∴ 。

∴梯形ABCD的面积为 。

10. (江苏省常州市2010年2分)如图，圆圈内分别有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤

每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方

向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是 ▲ 。

【答案】6。

【考点】分类归纳(图形的变化类)。

【分析】寻找规律，根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环：

若余数为0，圆圈所标的数字是0;

若余数为1，圆圈所标的数字是11;

若余数为2，圆圈所标的数字是10;

若余数为3，圆圈所标的数字是9;

…;

若余数为11，圆圈所标的数字是1。

∵2010除12余数为6，∴该圆圈所标的数字是6。

11.(2011江苏常州2分)把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体(且没有剩余)，其中

棱长为1的正方体的个数为 ▲ 。

【答案】24.

【考点】图形的拼接。

【分析】(思路1)棱长为4的体积为64，棱长为3的体积为27，棱长为2的体积为8，棱长为1的体积为1。

29个正方体从小到大的体积分别为1,1,1，.....1,(1+7)......

一共29个 ，总体积为64，去掉29个1，那么多出来的体积64-29=35，要分别给棱长为2或者3的组合

。

(1)若只有棱长2的，多出来的体积35=7+7+7+7+7，即只能是5个棱长为2的和24个棱长为1的 。

(2)若有棱长为3的，多出来的体积35-26=9，后面不能被整除，无解。

所以只有一种可能，24个棱长为1的， 5个棱长为2的。

(思路2)情况1：设棱长为3的正方体的个数为 ，棱长为2的正方体的个数为 ，则棱长为1的正方体的个数为 。依题意有

所以不存在 使 为正整数。

情况2：设棱长为3的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为 ，则棱长为2的正方体的个数为 。依题意有 。

情况3：设棱长为2的正方体的个数为0，棱长为1的正方体的个数为 ，则棱长为3的正方体的个数为 。依题意有 无整数解。

12. (2012江苏常州2分)如图，已知反比例函数 和 。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为 ，AC：AB=2：3，则 = ▲ ， = ▲ 。

三、解答题

1. (2001江苏常州7分)(1)阅读下列内容：

几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

例如，考察代数式(x-1)(x-2)的值：

当x<1时，x-1<0，x-2<0，∴(x-1)( x-2)>0;

当10，x-2<0，∴(x-1)( x-2)<0;

当x>2时，x-1>0，x-2>0，∴(x-1)( x-2)>0;

∴当x<1或x>2时，(x-1)( x-2)>0;

当1

(2)填写下表：(用“+”或“-”填入空格)

x<-2 -25

x+2 - + + + + +

x+1 - + + + +

x-3 - - + + +

x-4 - - - +

x-5 - - - - - +

(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5) - + +

(3)根据以上填表，写出当x__________________时，

请你运用所发现的规律，写出当x___________________________时，

【答案】解：(2)填表如下：

x<-2 -25

x+2 - + + + + +

x+1 - - + + + +

x-3 - - - + + +

x-4 - - - - + +

x-5 - - - - - +

(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5) - + - + - +

(3)x<-2或-1

x<8或911。

【考点】分类归纳(数字的变化类)，不等式的性质。

【分析】(2)将区间内一点代入即可确定各单项式在各区间的符号;

根据不等式“正正得正，正负得负，负负得正”的规律可确定多项式在的各区间的符号。

(3)从表中可得，当x<-2或-1

列表;

x<8 811

X-8 - + + + +

X-9 - - + + +

X-10 - - - + +

X-11 - - - - +

+ - + - +

从表中可得，当x<8或911时， 。

2. (2001江苏常州7分)在直角坐标系xoy中：

(1) 画出一次函数y= x+ 的图象，记作直线a，a与x轴的交点为C;

(2) 画出△ABC，使BC在x轴上，点A在直线a上(点A在第一象限)，且BC=2，∠ABC=1200;

(3) 写出点A、B、C的坐标;

(4) 将△ABC绕点B在直角坐标平面内旋转，使点A落在x轴上，求此时过点A、B、C的抛物线的

解析式。

【答案】解：(1)令x=0，则y= ，令y=0，则x=-1，

则函数图象与两坐标轴的交点分别为(0， )，(-1，0)。

作图如下：

(2)∵C在x轴上，且∠ABC=120°，

∴B点坐标为(1，0)，在直线y= x+ 的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。

作图如下：

(3)A、B、C三点的坐标分别为：A(3，2 )，B(-1，0)，C(1，0)。

(4)设三角形旋转以后的图形为△A′B′C，

根据旋转的性质可知A′C=AC，B′C=BC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°。

同理，B也旋转了60°，即∠ACA′=∠BCB′=60°，A′C=AC= 。

故A′点坐标为(5，0)。

同理可得B′C=BC= 。

过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数的定义可知EC=1，故E与原点重合。此时B′点坐标为(0，2)。

设此时过点A、B、C的抛物线的解析式

，把A′，B′，C三点坐标分别代入得，

，解得 。

∴此函数的解析式为y=

【考点】一次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数值的定义，勾股定理。

【分析】(1)分别令x=0，y=0找出直线与两坐标轴的交点即可画出一次函数y= x+ 的图象。

(2)在x轴上找点C，使BC=2，根据∠ABC=120°可知，C在B的右侧，且B点坐标为(1，0)，在直线y= x+ 的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。

(3)过A作AD⊥x轴，根据锐角三角函数的定义即可求出P点的坐标。

设A(x，y)，则y= x+ ，过A作AD⊥x轴，

则CD=x-1，∠ACD=180°-∠ABC=180°-120°=60°。

∴AD=CD•tan60°= (x-1)，即 (x-1)= x+ ，解得x=3，y= •3+ =2 。

∴A(3，2 )。

由(1)(2)可知B、C三点的坐标分别为： B(-1，0)，C(1，0)。

(4)根据旋转的性质当A落到x轴上时，设此点为A′则AA′=AC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°，同理，B也旋转了60°，BC=B′C，过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数值的定义可知B′此时正好落在y轴上，根据两点间的距离公式可求出B′、A′的坐标，再用待定系数法即可求出过点A、B、C的抛物线的解析式。

3. (江苏省常州市2002年8分)图1是棱长为a的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层，。。。。。。第n层，第n层的小正方体的个数记为s，

解答下列问题：

(1) 按照要求填表：

n 1 2 3 4 ……

s 1 3 6 …

(2) 写出当n=10时，s=______________.

(1) 据上表中的数据，把s作为纵坐标，n作为横坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应

的各点。

(2) 请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗?如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。

【答案】解：(1)由题意得，

n 1 2 3 4 ……

s 1 3 6 10 …

(2)55.

(3)描点如下：

(4)猜想各点在二次函数的图象上。

设函数的解析式为 ，

由题意得 ，解之得 。

∴函数的解析式为 。

【考点】二次函数的应用，分类归纳(图形变化)。待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)找规律：s=1+2+3+…+n= n(n+1)，∴当n=4时，s=10。

(2)当n=10时，s= ×10×(10+1)=55。

(3)描点。

(4)由(1)s = n(n+1)可得猜想，用待定系数法求之。

4. (江苏省常州市2002年8分)已知：在菱形ABCD中，∠BAD=600，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为( )

(1) 画出符合题目条件的菱形与直角坐标系。

(2) 写出 A，B两点的坐标。

(3) 设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD

的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标;如果不存在，请说明理由。(第37题不必写出计算过程)

【答案】解：(1)本题有两种情况。画图，如图所示：

图1 图2

(2)图1时：A(0，2)，B( );

图2时：A(0，14)，B( )

(3)图1时：F(0，8);

图2时：F(0，4)。

【考点】菱形的性质，坐标与图形性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，含300角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的判定。

【分析】(1)本题可分两种情况，如图。

(2)情况一，如图1，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF= ，

∴ ， 。

∴OA=OF-AF=8-(4+2)=2。

∴A点坐标为(0，2)。

又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标( )。

情况二，如图2，，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF= ，

∴ ， 。

∴OA=OF+AF=8+(4+2)=14。

∴A点坐标为(0，14)。

又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向上平移4个单位就是B点的坐标( )。

(3)在(2)中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由如下：

设CD与FP相交于点E，根据菱形的性质可知：∠FAC=30°，

∴在Rt△FAC中，FC= AC=PC。

而∠DCF=∠DCP=30°，CE=CE，

∴△CFE≌△CPE(SAS)。

∴CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称。

由(2)即可得到两种情况下的点F 为(0，8)和(0，4)。

5. (江苏省常州市2003年8分)如图，直线OC、BC的函数关系式分别为 和 ，动点P(x，0)在OB上移动(0

(1)求点C的坐标;

(2)设△OBC中位于直线 左侧部分的面积为s，写出s与x之间的函数关系式;

(3)在直角坐标系中画出(2)中函数的图象;

(4)当x为何值时，直线 平分△OBC的面积?

【答案】解：(1)解方程组 得 。

∴C点的坐标是(2，2)。 (2)过点C作CD⊥x轴于D，分两种情况讨论：

如图1，当0

则由△OPM∽△ODC得 ，即PM 2 =x 2 ，

则PM=x，

∴s= OP•PM= x2。

如图2，当2

则由△BPN∽△BDC得 。

∵DC=2，PB=3-x，DB=3-2=1，

∴ ，即PN=2(3-x)。

∴△BPN的面积为 PB•PN=(3-x)2。

又∵△OBC的面积是 ×3×2=3。

∴s=△OBC的面积-△BPN的面积=3-(3-x)2=-x2+6 x-6

综上所述，s与x之间的函数关系式为 。

(3)作图如下：

(4)∵△OBC的面积是 ×3×2=3，△OCD的面积为 ×2×2 =2

∴直线 平分△OBC的面积时， 0

∴由 ，解得 (已舍负值)。

【考点】一次和二次函数综合题，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)解两个函数解析式组成的方程组，就可以求出交点C的坐标。

(2)分直线 在C点的左侧和右侧两种情况进行讨论即可。

(3)描点作图即可。

(4)分析直线 平分△OBC的面积时，点P的位置，然后根据(3)中的函数解析式，列出方程，解方程就可以解决。

6. (江苏省常州市2003年10分)设一次函数 的图象为直线 ， 与x轴、y轴分别交于点A、B。

(1)求tan∠BAO的值;

(2)直线 过点(-3，0)，若直线 、 与x轴围成的三角形和直线 、 与y轴围成的三角形相似，求直线 的解析式。

【答案】解：(1)在一次函数 中，令x=0，解得y=2;令y=0，解得x=-4。

∴A，B的坐标是(-4，0)，(0，2)。

∴OA=4，OB=2。

∴ 。

(2)设直线 与 相交于点M，与x轴相交于点P(-3，0)，与y轴相交于点N，则直线 、 与x轴围成的三角形为△APM，直线 、 与y轴围成的三角形为△NBM。

分三种情况讨论：

①当点N在y轴负半轴上，如图1，

当只有当∠AMP=∠NMB=900时，△APM∽△NBM。

此时，△AOB∽△NOP，得 ，

∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N(0，-6)。

设直线 的解析式为 ，则 ，

解得 。

∴直线 的解析式为 。

②当点N在y轴正半轴上，且在OB的延长线上，如图2，

当只有当∠MAP=∠MNB时，△APM∽△NBM。

此时，△AOB∽△NOP，得 ，

∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N(0，6)。

设直线 的解析式为 ，则 ，

解得 。

∴直线 的解析式为 。

②当点N在y轴正半轴上，且在OB上，如图3，

∵∠AMP=∠BMN，

但∠BNM=∠PNO>∠NPO(∵ON

<∠PAM，

∠BNM=∠PNO<∠APM，

∴此时，△APM∽△NBM不成立。

综上所述，直线 、 与x轴围成的三角形和直线 、 与y轴围成的三角形相似时，直线 的解析式为 或 。

【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，三角形边角关系，三角形外角性质。

【分析】(1)在一次函数中，求出函数与坐标轴的交点坐标，就可以求出OA，OB的长，就可以求出三角函数值。

(2)分点N在y轴负半轴上;点N在y轴正半轴上，且在OB上;点N在y轴正半轴上，且在OB上三种情况分别讨论即可。

7. (江苏省常州市2004年9分)仔细阅读下列材料，然后解答问题。

某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售。同时当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：

消费金额 (元)的范围

…

获得奖卷的金额(元) 30 60 100 130 …

根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为 元，获得的优惠额为 元。设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价。

(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?

(2)对于标价在500元与800元之间(含500元和800元)的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到 的优惠率?

8. (江苏省常州市2004年9分)已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在 轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与 轴相交于点A、B，与 轴相交于D、E，且 。点P是⊙C上一动点(P点与A、B点不重合)。连结BP、AP。

(1)求∠BPA的度数;

(2)若过点P的⊙C的切线交 轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似?若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由。

【答案】解：(1)根据垂径定理得到 ，

又∵ ，∴ 。

∴劣弧 的度数是120°。∴∠BPA=60°或∠BPA=120°。

(2)设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。

①当P在弧EAD上时，(图1)GP切⊙C于点P，

∴∠GPA=∠PBA。

又∵∠GAP是△ABP的外角，

∴∠GAP>∠BPA，∠GAP>∠PBA。

∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，

∴BP为⊙C的直径。

在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，∴PA=4，AB= ，OA= 。

∴P( ，4)。

②当P在弧EBD上时，(图2)在△PAB和△GAP中，