第一讲 乘除法数字谜(一)

专题简析：

解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：

1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断;

2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字;

3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的;

4.算式谜解出后，要验算一遍。

例1.在下面的方框中填上合适的数字。

分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5;由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3;由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。

练习一

第二讲 乘除法数字谜(二)

例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字?

分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1;d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9;因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0(1已经用过);再由b=0，可推知c=8。

练习二

第三讲 图形的个数

例1.下面图形中有多少个正方形?

分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。因此图中共有18+10+4=32个正方形。

例2.下图中共有多少个三角形?

分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。

(1)图中共有6个小三角形;

(2)由两个小三角形组合的三角形有3个;

(3)由三个小三角形组合的三角形有4个;

(4)由六个小三角形组合的三角形有1个。

所以共有6+3+4+1=14个三角形。

练习三

1.下图中共有多少个正方形?

2.下图中共有多少个正方形?

3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形?

4.下面图中共有多少个三角形?

第四讲 找出数字的排列规律(一)

找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。

(一)思路指导

例1.在下面数列的( )中填上适当的数。

1，2，5，10，17，( )，( )，50

分析与解：这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9……，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：第一个括号里应填;第2个括号里应填。

例2.自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：1，4，7，10……问：第100个数是多少?

分析与解：第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，……依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是。

由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项+(这项的项数-1)×公差

我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。

练习四

1.找规律填数：

(1)1，3，7，15，______;

(2)l，4，13，40，121，____，____。

2.按规律找出下面两列数里□中应填写的数：

(1)2，6，18，54，□，486，1458;

(2)l，4，9，16，□，36，49

3.看规律填数：

(l)0，3，7，12，______，25，33;

(2)l，2，5，10，17，____，______，50。

4. 按规律填数：

(l)2，4，7，11，16，

(2)3，5，9，17，33，65，

5.按每组数的排列规律，填写最后一个数：

(1)2，4，16，256，______;

(2)12，19，33，61，117，______。

6.数列5，8，11，14，17，…的第25项是______，第100项是____。

第五讲 找出数的排列规律(二)

例3.已知一列数：2，5，8，11，14，……，44，……，问：44是这列数中的第几个数?

分析与解：显然这是一个等差数列，首项(第一项)是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系?

以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，……，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。

由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：

(这一项-首项)÷公差+1

这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。

试试看：数列7，11，15，……195，共有多少个数?

练习五

1.按规律填数：

(1)3，5，9，17，______，65。

(2)1，2，4，7，______，16。

2.数列2，9，16，23，30，…，135，…中的135是这列数的第____个数。

3.数列2，4，8，…的第10项是______。

4.数列7，11，15，19，23，…，119，共有______个数。

5.下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并在横线上填写适当的数：

2，97，1，4，98，3，6，99，5，____，____，7，10，101，____，12，102，11，…。

第六讲 数列求和(一)

专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差

项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1

例1.有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项?

分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。

例2.有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少?

分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399

练习六

1.等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项?

2.有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项?

3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项?

4.一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少?

5.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

第七讲 数列求和(二)

例3.有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。

分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

例4.求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：

项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25

首项=2，末项=50，项数=25

等差数列的和=(2+50)×25÷2=650