逻辑学论文：极限思想的辩证思考

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0 引言。

微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述， 用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

1 极限思想与辩证哲学的联系。

1.1 极限思想是变与不变的对立统一。

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。例如，平面内一条曲线C上某一点P 的切线斜率为kp。除P 点外曲线上点的斜率k 是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k 不可能等于kp，k 与kp是变与不变的对立关系;同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。当曲线上的点无限接近P 点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。

1.2 极限思想是过程与结果的对立统一。

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系， 在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。在上例中，当曲线上的点无限接近点P 的变化过程中，k 是变化过程，kp是变化结果。一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P 重合，同样曲线上变化点的斜率k 也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性;另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k 越来越接近kp，二者之间有紧密的联系， 无限接近的变化结果使得斜率k 转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。所以，通过研究曲线上点斜率k 的变化过程得到P 点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。

1.3 极限思想是有限与无限的对立统一。

在辨证法中，有限与极限是对立统一的。无限与有限有本质的不同， 但二者又有联系， 无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限[2]。例如，在极限式lim n→∞ xn=a 中xn对应数列中的每一项， 这些不同的数值xn既有相对静止性，又有绝对的运动性。数列中的每一项xn和a 都是确定不变的量， 是有限数; 随着n无限增大，有限数xn向a 无限接进，正是这些有限数xn的无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值。因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，他们既是对立又是统一的。

1.4 极限思想是近似与精确的对立统一。

近似与精确是对立统一的关系， 在一定条件下可相互转化， 这种转化是理解数学运算的重要方法[2]。

在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时， 内结多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确。又如在极限式lim n→∞ xn=a 中，当n无限增大时，数列的项x1，x2，…，xn反映变量xn无限的变化过程，而a 反映了变量xn无限变化的结果，每个xn都是a 的近似值，并且当n 越大，精确度越高;当n 趋于无穷时，近似值xn转化为精确值a。虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化。因此近似与精确既是对立又是统一的。