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著名数学家波利亚曾说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”解题后的反思，它是解题过程的深化和提高，有利于在原有基础上建立更高层次的认知结构，是一个极其重要而又容易被忽视的环节.反思的实质是批判性思维，如果学生习惯于在解题活动后批判性地、反复深入地思考问题，那么思路就会更开阔、更灵活，见解更深刻、更新颖，思维就更敏捷.因此在解题教学中不能满足于获得正确答案，教师要引导学生反思解题的思维过程，通过反思优化学生的思维品质，提高数学思维能力.

一、反思错误原因，培养思维的批判性

对于学生的典型错误，教师虽然反复讲评、订正，但收效甚微,其原因是这种平铺直叙的讲解常常使得有错误的学生不能接触问题的实质，而处于一种“浅认识”阶段，无法留下深刻的印象.貌似解决了问题，其实，不需多久，问题又会重新出现。教学实践表明：学生的错误不能单纯依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，而必须是一个“自我否定”的过程，即以自我反思为前提条件.因此在平时的教学中，教师要利用学生的错解作为反面教材，引导学生进行反思，找出自己解题出错的原因，探究改错的方法，提出防范的措施，拓展解题的思路，有效地培养学生思维的严谨性和批判性，优化思维品质，提高课堂教学的有效性。

例1 已知  为锐角，求函数  的最小值。

教师可把学生常出现的几种解法列出来。

解法1：     (1)

(2)

由(1)+(2)得  +

即

函数  的最小值为  。

解法2    ，当且仅当  时等号成立，

从中解得  代入上式得

函数  的最小值为

解法3

函数  的最小值为

究竟哪一位同学的解法正确?这一问题引起学生的思维碰撞.教师引导学生进行讨论辨析，因势利导设问：基本不等式等号成立的条件是什么?以上三种解法符合定理的使用条件吗?不符合的话，如何进行变换以便求解?本题对今后解决最大值(小)值问题有何启发?学生通过分析、诊断，提炼出了利用基本不等式求最值的注意点，并得出了正确的解法.

二、反思思想方法，培养思维的深刻性

在解题活动中总要涉及一些具体的数学思想方法，比如：化归的思想、函数与方程的思想、特殊化与一般化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等;消元法、换元法、降次法、降维法、配方法、待定系数法、数学归纳法以及反证法等.对解题活动涉及的数学思想方法进行反思，主要指反思解题活动中涉及到了哪些数学思想方法?这些思想方法的特点是什么?具体是怎么运用的?运用时有什么限制条件?运用后有什么效果?以前有没有运用过这种思想方法?在什么地方用的?那时是怎么运用的?不妨把两次运用的情况比较一下，相同点和不同点分别有哪些?能否从中总结出规律性的东西?通过这样的反思可以逐步加深对数学思想方法概括性的认识，以便今后灵活运用。

例2  已知 ，求证： .

证明：令函数 ，视它为关于a的一次函数.

若 ，则 .此时一次函数 是减函数.

又 ，所以，当  时  ，

即在已知条件下 .

反思：这是一个不等式问题，运用常规解法比较麻烦，通过构造函数，利用函数的思想解决不等式问题，给了我们柳暗花明又一村的感觉.运用这种思想方法可请学生解决以下问题：

(1)设 ， ，求证： .

(构造二次函数

计算并说明  * MERGEFORMAT ，从而证明原不等式成立。)

(2)已知 ，且 ，求证

者。(构造函数 ，可以证明，当  时它单调减;且可以证明  的最大值为 。)

通过一组问题的解决，使学生体会分析处理某些问题普遍适用的思想方法，认识解决此类问题的“通性通法”，起到举一反三，触类旁通的作用。