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数学运算之剩余定理专题

【例1】一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几?

【解析】题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40;

使15被4除余1，用15×3=45;

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1+45×2+36×4=274，

因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。

【例2】一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几?在1000内符合这样条件的数有几个.?

【解析】题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7，8〕=56;〔3，8〕=24;〔3，7〕=21;〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112;

使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105;

然后，112×2+120×4+105×5=1229，

因为，1229>168，所以，1229-168×7=53，就是所求的数。

再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有6个.

【例3】一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

【解析】题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8，11〕=88;〔5，11〕=55;〔5，8〕=40;〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176;

使55被8除余1，用55×7=385;

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4+385×3+320×2=2499，

因为，2499>440，所以，2499-440×5=299，就是所求的数。

【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ?

【解析】题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35;〔9，5〕=45;〔9，7〕=63;〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280;

使45被7除余1，用45×5=225;

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5+225×1+126×2=1877，

因为，1877>315，所以，1877-315×5=302，就是所求的数。