一、中国剩余定理的由来

我国古代数学名著《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路，被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

二、“中国剩余定理”算理及其应用

明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀：

三人同行七十(70)稀，五树梅花廿一(21)枝，

七子团圆正月半(15)，除百零五(105)便得知。

歌诀中每一句话都是一步解法：第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105，就减去105的倍数，就得到答案了。即：70×2+21×3+15×2-105×2=23

为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。(任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

三、“中国剩余定理”的应用

主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期：余同取余，和同加和，差同减差”以外的余数问题的题目。

例1、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几?

A、81　　B、34　　C、128　　D、103

【答案】B　解析：本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20;〔3，5〕=15;〔3，4〕=12;〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40;

使15被4除余1，用15×3=45;

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1+45×2+36×4=274。

因为，274>60，所以，274-60×4=34，就是所求的数。所以选择B选项。