典例精析

题型一　参数方程与普通方程互化

【例1】 把下列参数方程化成普通方程：

(1) (θ为参数);

(2) (t为参数，a，b>0).

【解析】(1)

所以5x2+4x y+17y2-81=0.

(2)由题意可得

所以①2-②2得4x2a2-4y2b2=4，所以x2a2-y2b2=1，其中x>0.

【变式训练1】把下列参数方程化为普 通方程，并指出曲线所表示的图形.

(1) (2) (3) (4)

【解析】(1)x2=2(y+12)，-2≤x≤2，图形为一段抛物线弧.

(2)x=1，y≤-2或y≥2，图形为两条射线.

(3)x2+y2-3y=0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).

(4)(x-6)216-(y+3)225=1，图形是双曲线.

题型二　根据直线的参数方程求弦长

【例2】已知直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=1.

(1)求曲线C的普通方程;

(2)求直线l被曲线C截得的弦长.

【解析】(1)由曲线C：ρ2cos 2θ=ρ2(cos2θ-sin2θ)=1，

化成普通方程为x2-y2=1.①

(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程 (t为参数).②

把②代入①得(2+t2)2-(32t)2=1，整理得t2-4t-6=0.

设其两根为t1，t2，则t1+t2=4，t1t2=-6.

从而弦长为t1-t2=(t1+t2)2-4t1t2=42-4(-6)=40=210.

方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y=3(x-2)，

代入x2-y2=1，得2x2-12x+13=0.

设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=6，x1x2=132，

所以AB=1+3?(x1+x2)2-4x1x2=262-26=210.

【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，若以O为极点 ，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4)，求直线l被曲线C所截的弦长.

【解析】将方程 (t为参数)化为普通方程为3x+4y+1=0.

将方程ρ=2cos(θ+π4)化为普通方程为x2+y2-x+y=0.

表示圆心为(12，-12)，半径为r=22的圆，

则圆心到直线的距离d=110，弦长=2r2-d2=212-1100=75.

题型三　参数方程综合运用

【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1： (t为参数)，C2： (θ为参数).

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

(2)若C1上的点P对应的参数为t=π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值.

【解析】(1)C1：(x+4)2+(y-3)2=1，C2：x264+y29=1.

C1是以(-4,3)为圆心，1为半径的圆;

C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

(2)当t=π2时，P(-4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(-2+4cos θ，2+32sin θ).

C3为直线x-2y-7=0，M到C3的距离d=554cos θ-3sin θ-13，

从而cos θ=45，sin θ=-35时，d取最小值855.

【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ=

2cos θ-4sin θ(ρ>0).

(1)化曲线C1 、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

(2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m>0)，经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程.

【解析】(1)曲线C1：x216+y24=1;曲线C2：(x-1)2+(y+2)2=5.

曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆;曲线C2为圆心为(1，-2)，半径为5的圆.

(2)曲线C1：x216+y24=1与x轴的交点坐标为(-4,0)和(4,0)， 因为m>0，所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y=k(x-4).

由曲线C2为圆心为(1，-2)，半径为5的圆得k+2-4kk2+1=5，

解得k=3±102，所以切线l的方程为y=3±102(x-4).

总结提高

1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误.

2.消除参数的常用方法有：①代入消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.

3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.

高三理科数学总复习教案：坐标系与参数方程就分享到这里了，更多相关信息请继续关注高三数学教案栏目！