题型三　极坐标的应用

【例3】过原点的一动直线交圆x2+(y-1)2=1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y=2的距离等于PQ，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.

【解析】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y=2，则有PQ=PR.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0=2sin θ.因为PR=PQ，所以2-ρsin θ=ρ-2sin θ，所以

ρ=±2或sin θ=±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2+y2=4或x=0.

【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简 化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.

【变式训练3】如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.

【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，

则直线x=5的极坐标方程为ρcos θ=5.

设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，

因为点A在直线ρcos θ=5上，所以ρ0cos θ0=5.①

因为△OPA为等腰三角形，且∠OPA=120°，而OP=ρ，OA=ρ0以及∠POA=30°，

所以ρ0=3ρ，且θ0=θ-30°.②

把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ-30°)=5.

题型四　平面直角坐标系中坐标的伸缩变换

【例4】定义变换T： 可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.

(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tan θ=34时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标;

(2)当tan θ=34时，求(1)中的椭圆C 在变换T下的所有不动点的坐标.

【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，

由椭圆定义知焦距2c=22?c=2，即a2-b2=2.①

又由已知得a2+b2=4，②

故由①、②可解得a2=3，b2=1.

即椭圆C的标准方程为x23+y2=1，

且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(-2，0)和F2(2，0).

对于变换T： 当tanθ= 时，可得

设F1′(x1，y1) 和F2′(x2，y2)分别是由F1(-2，0)和F2(2，0)的坐标经变换公式T变换得到.

于是

即F1′的坐标为(-425，-325);

又

即F2′的坐标为(425，325).

(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tan θ=34时，

有 ?x=3y，由点P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得(3y)23+y2=1

? 因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(32，12)和(-32 ，-12).

【变式训练4】在直角坐标系中，直线x-2y=2经过伸缩变换　　　　　　　　　后变成直线2x′-y′=4.

【解析】

总结提高

1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.

如果规定ρ>0,0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示;反之也成立.

2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.

17.2　参数方程