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高中函数求值域的九种方法和例题讲解

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2012-05-23

对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。

例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域。

点拨:将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。

解:由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

当k=-3/5时,x=3/5,y=-4/5时,zmin=1。

函数的值域为{z|z≥1}.

点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。

练习:已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。(答案:{f(x,y)|f(x,y)≥1})

十一.利用多项式的除法

例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域。

点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。

解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0,故y≠3。

∴函数y的值域为y≠3的一切实数。

点评:对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。

练习:求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。(答案:y≠2)

十二.不等式法

例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域。

点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。

解:易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],

由对数函数的定义知x/(1-x)>0

1-x≠0

解得,0

∴函数的值域(0,1)。

点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。

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