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高中函数求值域的九种方法和例题讲解

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2012-05-23

练习:求函数y=3+√4-x的值域。(答案:{y|y≥3})

八.换元法

以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。

例2求函数y=x-3+√2x+1的值域。

点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。

解:设t=√2x+1(t≥0),则

x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以,原函数的值域为{y|y≥-7/2}。

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习:求函数y=√x-1–x的值域。(答案:{y|y≤-3/4}

九.构造法

根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。

例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。

解:原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位

正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三边关系知,AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共

线时取等号。

∴原函数的知域为{y|y≥5}。

点评:对于形如函数y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。

练习:求函数y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。(答案:{y|y≥5√2})

以上九种是函数求值域最常用的方法,下面介绍三种特殊情况下求值域的几种方法.

十.比例法

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