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一、选择题

1.函数f(x)=23x+1+a的零点为1，则实数a的值为(　　)

A.-2  B.-12

C.12   D.2

解析　由已知得f(1)=0，即231+1+a=0，解得a=-12.故选B.

答案　B

2.函数f(x)=2x-x-2的一个零点所在的区间是(　　)

A.(0,1)   B.(1,2)

C.(2,3)   D.(3,4)

解析　由f(0)=20-0-2<0，f(1)=2-1-2<0，f(2)=22-2-2>0，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.

答案　B

3.(2014•北京卷)已知函数f(x )=6x-log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

A.(0,1)   B.(1,2)

C.(2,4)   D.(4，+∞)

解析　由题意知，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(1)=6-0=6>0，f(2)=3-1=2>0，f(4)=64-log24=32-2=-12<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.

答案　C

4.(2014•湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-3x，则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(　　)

A.{1,3}   B.{-3，-1,1,3}

C.{2-7，1,3}   D.{-2-7，1,3

解析　求出当x<0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可.令x<0，则-x>0，所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x). 所以当x<0时，f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时，g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0，即x2-4x+3=0，解得x=1或x=3.当x<0时，g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0，即x2+4x-3=0，解得x=-2+7>0(舍去)或x=-2-7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{-2-7，1,3}.

答案　D

5.已知函数f(x)=kx+2，x≤0lnx，x>0(k∈R)，若函数y=|f(x)|+k有三个零点，则实数k的取值范围是(　　)

A.k≤2   B.-1

C.-2 ≤k<-1  D.k≤-2

解析　由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0，所以 k≤0，作出函数y=|f(x)|的图象，

要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点，则有-k≥2，即k≤-2，选D.

答案　D

6.x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(0，π))的零点，x1

A.①③   B.①④

C.②③    D.②④

解析　因为f(1)=2sin1-πln1=2sin1>0，f(e)=2sin e-π<0，所以x0∈(1，e)，即①正确.

f′(x)=2cosx-πx，当x∈0，π2时，πx>2，f′(x)<0，

当x=π2时，f′(x)=-2<0，

当x∈π2，π时，1<πx<2，cosx< 0，f′(x)<0.

综上可知，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x1)>f(x2)，即f(x1)-f(x2)>0，④正确.

答案　B

二、填空题

7.已知0

解析　分别画出函数y=ax(0

答案　2

8.(2014•福建卷)函数f(x)=x2-2，x≤0，2x-6+lnx，x>0的零点个数是________.

解析　分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个.

当x≤0时，令x2-2=0，解得x=-2(正根舍去)，

所以在(-∞，0]上有一个零点.

当x>0时，f′( x)=2+1x>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数.

又因为f(2)=-2+ln2<0，f(3)=ln3>0，f(2)•f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点.

综上，函数f(x)的零点个数为2.

答案　2