19. 在等差数列 中， ， .令 ，数列 的前 项和为 .

(1)求数列 的通项公式;

(2)求数列 的前 项和 ;

(3)是否存在正整数 ， ( ),使得 ， ， 成等比数列?若存在，求出所有的 ， 的值;若不存在，请说明理由.

试题解析：(1)设数列 的公差为 ，由 得

解得 ，

∴

(2)∵

∴

(3)由(1)知， ， ，

假设存在正整数 、 ，使得 、 、 成等比数列，

则 ， 即

经化简，得

∴

∴ (*)

当 时，(*)式可化为 ，所以

当 时，

又∵ ，∴(*)式可化为 ，所以此时 无正整数解.

综上可知，存在满足条件的正整数 、 ，此时 ， .