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本文题目：高三理科数学复习教案：圆锥曲线与方程总复习教案

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考试要求 重难点击 命题展望

1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;

2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;

3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质;

4.了解圆锥曲线的简单应用;

5.理解数形结合的思想;

6.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 　　本章重点：1.椭圆、双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.求曲线的方程或曲线的轨迹;4.数形结合的思想，方程的思想，函数的思想，坐标法.

本章难点：1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用;2.直线与圆锥曲线的位置关系问题;3.曲线与方程的对应关系. 　　圆锥曲线与函数、方程、不等式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法运用;解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.

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9.1　椭　圆

典例精析

题型一　求椭圆的标准方程

【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和

253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.

【解析】由椭圆的定义知，2a=453+253=25，故a=5，

由勾股定理得，(453)2-(253)2=4c2，所以c2=53，b2=a2-c2=103，

故所求方程为x25+3y210=1或3x210+y25=1.

【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2+ny2=1(m>0，n>0且m≠n);

(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.

【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：

据此，可推断椭圆C1的方程为　　　　　.

【解析】方法一：先将题目中的点描出来，如图，A(-2,2)，B(-2，0)，C(0，6)，D(2，-22)，E(22，2)，F(3，-23).

通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.

显然半焦距b=6，则不妨设椭圆的方程是x2m+y26=1，则将点

A(-2,2)代入可得m=12，故该椭圆的方程是x212+y26=1.

方法二：欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一些.

不妨设有两点y21=2px1，①y22=2px2，②y21y22=x1x2，

则可知B(-2，0)，C(0，6)不是抛物线上的点.

而D(2，-22)，F(3，-23)正好符合.

又因为椭圆的交点在x轴上，故B(-2，0)，C(0，6)不 可能同时出现.故选用A(-2,2)，E(22，2)这两个点代入，可得椭圆的方程是x212+y26=1.

题型二　椭圆的几何性质的运用

【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°.

(1)求椭圆离心率的范围;

(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

【解析】(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，|PF1|=m，|PF2|=n，在△F1PF2中，

由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos 60°，

因为m+n=2a，所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn，

所以4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2.

又mn≤(m+n2)2=a2(当且仅当m=n时取等号)，

所以4a2-4c2≤3a2，所以c2a2≥14，

即e≥12，所以e的取值范围是[12，1).

(2)由(1)知mn=43b2，所以 =12mnsin 60°=33b2，

即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴 长有关.

【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用;求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|•|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2，|PF1|≥a-c.

【变式训练2】已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，Q，R分别是圆(x+4)2+y2=14和圆

(x-4)2+y2=14上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是　　　　.

【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆心，

则|PQ|+|PR|≥(|PF1|-12)+(|PF2|-12)=|PF1|+|PF2|-1=9.

所以|PQ|+|PR|的最小值为9.

题型三　有关椭圆的综合问题

【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且 |AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.

(1)求E的离心率;

(2)设点P(0，-1)满足|PA|=|PB|，求E的方程.

【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，

又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=43a.

l的方程为y=x+c，其中c=a2-b2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组

化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0，

则x1+x2=-2a2ca2+b2，x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.

因为直线AB斜率为1，所以|AB|=2|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]，

即43a=4ab2a2+b2，故a2=2b2，

所以E的离心率e=ca=a2-b2a=22.

(2 )设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c，y0=x0+c=c3.

由|PA|=|PB|⇒kPN=-1，即y0+1x0=-1⇒c=3.

从而a=32，b=3，故E的方程为x218+y29=1.

【变式训练3】已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|=e，则e的值是(　　)

A.32 B.33 C.22 D.63

【解析】设F1(-c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，则椭圆左准线x=-a2c，抛物线准线为x=

-3c，x0-(-a2c)=x0-(-3c)⇒c2a2=13⇒e=33.故选B.

总结提高

1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、 b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)求解.

2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.

3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.

9.2　双曲线

典例精析

题型一　双曲线的定义与标准方程

【例1】已知动圆E与圆A：(x+4)2+y2=2外切，与圆B：( x-4)2+y2=2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.

【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|=r+2，|BE|=r-2，

所以|AE|-|BE|=22，又A(-4,0)，B(4,0)，所以|AB|=8,22<|AB|.

根据双曲线定义知，点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.

因为a=2，c=4，所以b2=c2-a2=14，

故点E的轨迹方程是x22-y214=1(x≥2).

【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.

【变式训练1】P为双曲线x29-y216=1的右支上一点，M，N分别是圆(x+5)2+y2=4和

(x-5)2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

【解析】选D.

题型二　双曲线几何性质的运用

【例2】双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使 =0，求此双曲线离心率的取值范围.

【解析】设P(x，y)，则由 =0，得AP⊥PQ，则P在以AQ为直径的圆上，

即 (x-3a2)2+y2=(a2)2，①

又P在双曲线上，得x2a2-y2b2=1，②

由①②消去y，得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0，

即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0，

当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去;

当x=2a3-ab2a2+b2时，满足题意的点P存在，需x=2a3-ab2a2+b2>a，

化简得a2>2b2，即3a2>2c2，ca<62，

所以离心率的取值范围是(1，62).

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.

【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)

A.k2-e2>1 B.k2-e2<1

C.e2-k2>1 D.e2-k2<1

【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足-ba

题型三　有关双曲线的综合问题

【例3】(2010广东)已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，-y1)是双曲线上不同的两个动点.

(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程;

(2)若过点H(0，h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.

【解析】(1)由题意知|x1|>2，A1(-2，0)，A2(2，0)，则有

直线A1P的方程为y=y1x1+2(x+2)，①

直线A2Q的方程为y=-y1x1-2(x-2).②

方法一：联立①②解得交点坐标为x=2x1，y=2y1x1，即x1=2x，y1=2yx，③

则x≠0，|x|<2.

而点P(x1，y1)在双曲线x22-y2=1上，所以x212-y21=1.

将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22+y2=1，x≠0且x≠±2.

方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的交点，①×②得y2=-y21x21-2(x2-2).③

又点P(x1，y1)在双曲线上，因此x212-y21=1，即y21=x212-1.

代入③式整理得x22+y2=1.

因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点A1，A2均不重合.故点A1和A2均不在轨迹E上.过点(0,1)及A2(2，0)的直线l的方程为x+2y-2=0.

解方程组 得x=2，y=0.所以直线l与双曲线只有唯一交点A2.

故轨迹E不过点(0,1).同理轨迹E也不过点(0，-1).

综上分析，轨迹E的方程为x22+y2=1，x≠0且x≠±2.

(2)设过点H(0，h)的直线为y=kx+h(h>1)，

联立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.

令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0，得h2-1-2k2=0，

解得k1=h2-12，k2=-h2-12.

由于l1⊥l2，则k1k2=-h2-12=-1，故h=3.

过点A1，A2分别引直线l1，l2通过y轴上的点H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(-h2)=-1，得h=2.

此时，l1，l2的方程分别为y=x+2与y=-x+2，

它们与轨迹E分别仅有一个交点(-23，223)与(23，223).

所以，符合条件的h的值为3或2.

【变式训练3】双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于(　　)

A.1+22 B.3+22

C.4-22 D.5-22

【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解.

据题意设|AF1|=x，则|AB|=x，|BF1|=2x.

由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a

⇒(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=(2+1)x-x=4a，即x=22a=|AF1|.

故在Rt△AF1F2中可求得|AF2|=|F1F2|2-|AF1|2=4c2-8a2.

又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=22a-2a，即4c2-8a2=22-2a，

两边平方整理得c2=a2(5-22)⇒c2a2=e2=5-22，故选D.

总结提高

1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.

2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时，P的轨迹是双曲线;当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线;当

||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时，P无轨迹.

3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：

(1)已知双曲线方程，求它的渐近线;

(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y=±bax，可将双曲线方程设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.

9.3　抛物线

典例精析

题型一　抛物线定义的运用

【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.

(1)抛物线过点P(2，-4);

(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.

【解析】(1)设方程为y2=mx或x2=ny.

将点P坐标代入得y2=8x或x2=-y.

(2)设A(m，-3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2=2px(p≠0)，

由定义得5=|AF|=|m+p2|，又(-3)2=2pm，所以p=±1或±9，

所求方程为y2=±2x或y2=±18x.

【变式训练1】已知P是抛物线y2=2x上的一点，另一点A(a,0) (a>0)满足|P A|=d，试求d的最小值.

【解析】设P(x0，y0) (x0≥0)，则y20=2x0，

所以d=|PA|=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.

因为a>0，x0≥0，

所以当0

当a≥1时，此时有x0=a-1，dmin=2a-1.

题型二　直线与抛物线位置讨论

【例2】(2010湖北)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程;

(2)是否存在正数m，对 于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 <0?若存在，求出m的取值范围;若不存在，请说明理由.

【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：

(x-1)2+y2-x=1(x>0).

化简得y2=4x(x>0).

(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

设l的方程为x=ty+m，由 得y2-4ty-4m=0，

Δ=16(t2+m)>0，于是 ①

又 =(x1-1，y1)， =(x2-1，y2).

<0⇔(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②

又x=y24，于是不等式②等价于 y214•y224+y1y2-(y214+y224)+1<0

⇔(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③

由①式，不等式③等价于m2-6m+1<4t2.④

对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2-6m+1<0，即3-22

由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有 • <0，且m的取值范围是(3-22，3+22).

【变式训练2】已知抛物线y2=4x的一条弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直线与y轴的交点坐标为(0,2)，则1y1+1y2=　　　.

【解析】 ⇒y2-4my+8m=0，