例4 20世纪30年代，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M=lg A-lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).

(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震 的震级(精确到0.1);

(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?

活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项.根据题目给出的数学模型及其含义来解决.这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义.

解：(1)M=lg 20-lg 0.001=lg200.001=lg 20 000=lg 2+lg 104≈4.3.

因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.

(2)由M=lg A-lg A0可得M=lgAA0，即AA0=10M，所以A=A0•10M.

当M=7.6时，地震的最大振幅为A1=A0•107.6;

当M=5时，地震的最大振幅为A2=A0•105.

所以，两次地震的最大振幅之比是A1A2=A0×107.6A0×105=107.6-5=102.6≈398.

答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.

点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点.

知能训练

课本本节练习4.

【补充练习】

(1)已知lg 2=a，lg 3=b，则lg 12lg 15等于(　　)

A.2a+b1+a+b B.a+2b1+a+b C.2a+b1-a+b D.a+2b1-a+b

(2)已知2lg(x-2y)=lg x+lg y，则xy的值为(　　)

A.1 B.4 C.1或4 D.4或-1

(3)若3a=2，则log38-2log36=__________.

(4)lg 12.5-lg58+lg 0.5=__________.

答案：(1)C　(2)B　(3)a-2　(4)1

拓展提升

探究换底公式的其他证明方法：

活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质.

证法一：设logaN=x，则ax=N，两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得logcax=logcN，所以xlogca=logcN，即x=logcNlogca.故 logaN=logcNlogca.

证法二：由对数恒等式，得 ，两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得logcN=logaN•logca，所以logaN=logcNlogca.

证法三：令logca=m，logaN=n，则a=cm，N=an，所以N=(cm)n=cmn.

两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得mn=logcN，所以n=logcNm，即logaN=logcNlogca.

对数换底公式的应用：换底公式logaN=logcNlogca(c>0且c≠1，a>0且a≠1，N>0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：

例：化简：logaMlogaN+logbMlogbN+logcMlogcN+logdMlogdN.

解：原式=logNM+logNM+logNM+logNM=4logNM.

课堂小结

1.对数换底公式;

2.换底公式可用于对数式的化简、求值或证明.若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a>0且a≠1)为底的对数式的形式.

作业

课本习题2.2A组　6,11,12.

【补充作业】

1.已知 ， ，求log81175的值.

解：因为 =log277=13log37=a，所以log37=3a.

又因为 =log35=b，

所以log81175=14log3(25×7)=14(log325+log37)=14(2log35+log37)=3a+2b4.

2.求证：(log23+log49+log827+…+ )log9n32=52.

证明：左边=(log23+log49+log827+…+log2n3n)log9n32

=( )•1nlog932

=nlog23•1nlog332=log23•52log32=52=右边.

设计感想

本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段.

备课资料

【备选例题】

【例1】化简：logaMlogbN•logbMlogcN•logcMlogdN•logdMlogaN.

解：原式=logaMlogaN•logbMlogbN•logcMlogcN•logdMlogdN=logNM•logNM•logNM•logNM=(logNM)4.

【例2】求证：logab=1logba(a>0，b>0且a≠1，b≠1).

证法一：logab=logbblogba=1logba.

证法二：1logba=logbblogba=logab.

【例3】试证：1log2x+1log3x+1log4x+…+1lognx=1logn!x.

证明：1log2x+1log3x+1log4x+…+1lognx=logx(2×3×4×…×n)

=logx(1×2×3×4×…×n)=logxn!=1logn!x.

【知识拓展】

对数的创立

对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(J.Napier，1550—1617)男爵.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.

当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样.在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的.那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…

1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、…

这两行数 字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.

比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8;然后再把第一行中的对应数字加起来：6+8=14;第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256=16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了.回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗?计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了.这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗?

经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点.所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣.伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.