活动：学生思考观察，教师引导，学生有困难及时提示并评价学生的思考过程.本题主要考查对数的定义及其运算性质.先利用对数的定义求2x，再求23x，从而可求，或先 化简再代入求值.

解法一：由x=log23，得2x=3,2-x=13，所以23x-2-3x2x-2-x=33-1333-13=32+3×13+132=919.

解法二：由x=log23，得2x=3,2-x=13，所以23x-2-3x2x-2-x=(2x-2-x)(22x+1+2-2x)2x-2-x=22x+1+2-2x=32+1+132=919.

知能训练

课本本节练习第1,2,3题.

【补充练习】

1.用logax，logay，logaz，loga(x+y)，loga(x-y)表示下列各式：

(1)loga3xy2z;(2)logax•4z3y2;(3) ;(4)logaxyx2-y2;

(5)logax+yx-y•y;(6)logayx(x-y)3.

解：(1)loga3xy2z=loga3x-logay2z=13logax-(2logay+logaz)=13logax-2logay-logaz;

(2)logax•4z3y2=logax+loga4z3y2=logax+14(logaz3-logay2)

=logax-24logay+34logaz=logax-12logay+34logaz;

(3) =logax+ + =logax+12logay-23logaz;

(4)logaxyx2-y2=logaxy-loga(x2-y2)=logax+logay-loga(x+y)(x-y)

=logax+logay-loga(x+y)-loga(x-y);

(5)logax+yx-y•y=logax+yx-y+logay=loga(x+y)-loga(x-y)+logay;

(6)logayx(x-y)3=3[logay-logax-loga(x-y)]=3logay-3logax-3loga(x-y).

2.已知f(x6)=log2x，则f(8)等于(　　)

A.43 B.8 C.18 D.12

解析：因为f(x6)=log2x，x>0，令x6=8，得 ，所以f(8)= =12.

另解：因为f(x6)=log2x=16log2x6，所以f(x)=16log2x.

所以f(8)=16log28=16log223=12.

答案：D

拓展提升

已知x，y，z>0，且lg x+lg y+lg z=0，求 的值.

活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导.大胆设想，运用对数的运算性质.由于所求的式子是三项积的形式，每一项都有指数，指数中又有对数，因此想到用对数的运算性质，如果能对所求式子取对数，那可能会好解决些，故想到用参数法，设所求式子的值为t.

解：令 ，则lg t=1lg y+1lg zlg x+1lg z+1lg xlg y+1lg x+1lg ylg z=lg xlg y+lg xlg z+lg ylg z+lg ylg x+lg zlg x+lg zlg y=lg x+lg zlg y+lg x+lg ylg z+lg y+lg zlg x=-lg ylg y+-lg zlg z+-lg xlg x=-3，所以t=10-3=11 000即为所求.

课堂小结

1.对数的运算性质.

2.对数的运算性质的综合应用，特别是性质的逆向使用.

3.对数与指数形式比较：

式子 ab=N logaN=b

名称 a——幂的底数

b——幂的指数

N——幂值 a——对数的底数

b——以a为底的N的对数

N——真数

运算

性质 am•an=am+n;

am÷an=am-n;

(am)n=amn;

(a>0，a≠1，m，n∈R) loga(MN)=logaM+logaN;

logaMN=logaM-logaN;

logaMn=nlogaM(n∈R);

(a>0，a≠1，M>0，N>0)

作业

课本习题2.2A组　3,4,5.

设计感想

在前面研究了对数概念的基础上，为了运算的方便，本节课我们借助指数的运算性质，推出了对数的运算性质，引导学生自己完成推导过程，加深对公式的理解和记忆，对运算性质的认识类比指数的运算性质来理解记忆，强化性质的使用条件，注意对数式中每一个字母的取值范围，由于它是以后学习对数函数的基础，所以安排教学时，要反复练习，加大练习的量，多结合信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务.

第3课时

作者：刘菲

整体设计

教学目标

1.知识与技能

推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度.

2.过程与方法

让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识.

3.情感态度与价值观

通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质;感受对数的广泛应用.

重点难点

重点：对数的运算性质、换底公式及其应用.

难点：正确使用对数的运算性质和换底公式.

教学过程

导入新课

思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，logab=logcblogca.教师直接点出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用.

思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质;2.对数恒等式;3.对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢?这就是本堂课的主要内容.教师板书课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应用.

思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢?这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)——对数的换底公式及其应 用.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)已知lg 2=0.301 0，lg 3=0.477 1，求log23的值;

(2)根据(1)，如a>0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗?

(3)更一般地，我们有logab=logcblogca，如何证明?

(4)证明logab=logcblogca的依据是什么?

(5)你能用自己的话概括出换底公式吗?

(6)换底公式的意义是什么?有什么作用?

活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力.对(1)目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解;对(2)参考(1)的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示;对(3)借助(1)(2)的思路，利用对数的定义来证明;对(4)根据证明的过程来说明;对(5)抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式;对(6)换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了.

讨论结果：(1)因为lg 2=0.301 0，lg 3=0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0=2,100.477 1=3.

不妨设log23=x，则2x=3，所以(100.301 0)x=100.477 1,100.301 0×x=100.477 1，

即0.301 0x=0.477 1，x=0.477 10.301 0=lg 3lg 2.因此log23=lg 3lg 2=0.477 10.301 0≈1.585 0.

(2)根据(1)我们看到，最后的结果是log23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对 数，

不妨设log23=x，由对数定义知道，2x=3，

两边都取以a为底的对数，得loga2x=loga3，xloga2=loga3，x=loga3loga2，

也就是log23=loga3loga2.

这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商.

(3)证明logab=logcblogca.

证明：设logab=x，由对数定义知道，ax=b;

两边取以c为底的对数，得logcax=logcb⇒xlogca=logcb;

所以x=logcblogca，即logab=logcblogca.

一般地，logab=logcblogca(a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)称为对数的换底公式.

(4)由(3)的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M>0，N>0，M=N，则logaM=logaN.

(5)一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商.

(6)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值.

说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数.如log23=lg 3lg 2，

即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“=”.

再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x=log1.011813，

所以x=log1.011813=lg1813lg 1.01=lg 18-lg 13lg1.01≈1.255 3-1.0390.004 3=32.883 7≈33(年).

可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多.

应用示例

例1 求log89•log2732的值.

活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数;根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可.

解法一：log89•log2732=lg 9lg 8•lg 32lg 27=2lg 33lg 2•5lg 23lg 3=109.

解法二：log89•log2732=log29log28•log232log227=2log233•53log23=109.

解法三：log89•log2732=log39log38•log332log327=23log32•5log323=109.

点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键.

例2 计算：(1)log52•log4981log2513•log734;(2)log43•log92- .

活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价.先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值;对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简.对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值.

解：(1)原式=lg2lg 5•lg 34lg 72lg 3-1lg 52•lg 22lg 73=12•lg 2lg 5•4lg 32lg 7-lg 32lg 5•2lg 23lg 7=-3.

(2)log43•log92- =log23log24•log22log29- =12log23•12log32+54log22

=14+54=32.

点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底.

例3 (1)证明logaxlogabx=1+logab;

(2)已知 = =…= =λ，求证： .

活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数 可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解;(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解.

(1)证法一：设logax=p，logabx=q，logab=r，则x=ap，x=(ab)q=aqbq，b=ar.

所以ap=(ab)q=aq(1+r)，从而p=q(1+r).

因为q≠0，所以pq=1+r，即logaxlogabx=1+logab.

证法二：显然x>0且x≠1，x可作为底数，左边=logaxlogabx=logxablogxa=logaab=1+logab=右边.

(2)证明：因为loga1b1=loga2b2=…=loganbn=λ，所以由换底公式得lg b1lg a1=lg b2lg a2=…=lg bnlg an=λ.由等比定理，所以lg b1+lg b2+…+lg bnlg a1+lg a2+…+lg an=λ.所以lg(b1b2…bn)lg(a1a2…an)=λ.

所以 =lg(b1b2…bn)lg(a1a2…an)=λ.

点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简.