18. (本题满分15分) 已知a、b∈(0，+∞)，且a+b=1,

求证：(1) ab≤     (2) + ≥8;   (3)  +  ≥ .  (5分+5分+5分)

证明  (1) 由  a、b∈(0，+∞)，

得 ≤  ab≤   ≥4.

(当且仅当a=b= 时取等号)

(2)∵ + ≥ ≥8,∴ + ≥8.

(3)∵a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2× = ，∴a2+b2≥ .

∴   +  =a2+b2+4+ +

≥ +4+8= ,∴ +  ≥ .------------------------------13分

(当且仅当a=b= 时取等号)      ---------------------------------15分

19.(本小题满分16分)

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

(1)按下列要求建立函数关系式：

(i)设 (rad)，将 表示成 的函数;并写出函数的定义域.      (5分)

(ii)设 (km)，将 表示成 的函数;并写出函数的定义域.        (5分)

(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?          (6分)

解:(1)(i)由题意知, AC= , BC= ,

---------------------------------2分

其中 当 时，y=0.065 , 所以k=9

所以   ---------------------------------3分

(ii)如图,由题意知AC⊥BC, ,  -----7分

其中当 时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为 -----------------------10分

(2)(i) ---------------------------------4分

当且仅当    即当AC 时, 即当C点到城A的距离为 时, 函数

有最小值. ---------------------------------16分

(ii) , ,

令 得 ,所以 ,即 ,

当 时,  ,即 所以函数为单调减函数

,当 时,  ,即 所以函数为单调增函数--------14分

.所以当 时, 即当C点到城A的距离为 时, 函数 有最小值.                    ------------------16分

解法二: (1)同上.

(2)设 ,

则 , ,所以

------10分

当且仅当 即 时取”=”.

所以弧 上存在一点，当 时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.                                                   ------------------16分

20.(本小题满分16分)

已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线与直线 垂直.

(1) 求实数 的值;(6分)

(2) 求 在  ( 为自然对数的底数)上的最大值;(10分)

20.(1)当 时， ，                            ………2分

由题意得： ，即 ，                          ………4分

解得： 。                                                     ………6分

(2)由(1)知：

①当 时， ，

解 得 ;解 得 或

∴ 在 和 上单减，在 上单增，

由 得： 或 ，                           ………8分

∵　 ，

∴ 在 上的最大值为 。                                        ………10分

②当 时， ，

当 时， ;当 时， 在 单调递增;

∴ 在 上的最大值为 。                                         ……13分

∴当 时， 在 上的最大值为 ;

当 时， 在 上的最大值为 。                          …………16分

编辑老师为大家整理了第一学期期中考试高二数学，希望对大家有所帮助。

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