数学是一种应用非常广泛的学科。精品小编准备了高二数学命题难点解析，具体请看以下内容。

一、 定位整体

新课程标准对“常用逻辑用语”的定位为：“正确使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质，无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思想。在本模块中，同学们将在义务教育的基础上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。” 因此，学习逻辑用语，不仅要了解数理逻辑的有关知识，还要体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清晰和简洁。

二、 明确重点

“常用逻辑用语”分成三大节，分别为：命题及其关系，简单的逻辑联结词，全称量词与存在量词。

“命题及其关系”分两小节：一、“四种命题”，此节重点在于四种命题形式及其关系，互为逆否命题的等价性;二、“充分条件和必要条件”，此节重点在于充分条件、必要条件、充要条件的准确理解以及正确判断。

“简单的逻辑联结词”重点在于“且”、 “或”、 “非”这三个逻辑联结词的理解和应用。

“全称量词与存在量词”重点在于理解全称量词与存在量词的意义，以及正确做出含有一个量词的命题的否定。

三、 突破难点

1. “四种命题”的难点在于分清命题的条件和结论以及判断命题的真假

例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

(1) 全等三角形的面积相等;

(2) m>时，方程mx2-x+1=0无实根;

(3) 若sinα≠，则α≠30°.

解析 (1) 条件为两个三角形全等，结论为它们的面积相等。因此，原命题即为“若两个三角形全等，则它们的面积相等”，逆命题为“若两个三角形面积相等，则它们全等”，否命题为“若两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，逆否命题为“若两个三角形面积不相等，则它们不全等”.根据平面几何知识，易得原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。

(2) 原命题即为“若m>，则方程mx2-x+1=0无实根”，逆命题为“若方程mx2-x+1=0无实根，则m>”，否命题为“若m≤，则方程mx2-x+1=0有实根”，逆否命题为“若方程mx2-x+1=0有实根，则m≤”.根据判别式Δ=1-4m的正负可知，原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题。

(3) 原命题即为“若sinα≠，则α≠30°”，逆命题为“若α≠30°，则sinα≠”，否命题为“若sinα=，则α=30°”，逆否命题为“若α=30°，则sinα=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难，但考虑到原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此可以先考虑逆否命题和否命题;由三角函数的知识，可知原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。

突破 对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性。

2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断

例2 在下列命题中，判断p是q的什么条件。(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)

(1) p:|p|≥2，p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有实根。

(2) p:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切;q:c2=(a2+b2)r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

(3) 设集合M={x|x>2}，N={x|x<3}，p:x∈M∩N;q:x∈M∪N.

解析 (1) 当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“若p则q”为假命题;当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“若q则p”为真命题。故p是q的必要不充分条件。

(2) 若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，则圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=，化简可得c2=(a2+b2)r2，因此“若p则q”为真命题;反过来，由c2=(a2+b2)r2，可得r=，即圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,由解析几何知识得圆与直线相切，因此“若q则p”为真命题。故p是q的充要条件。

(3) M∩N=(2，3)，M∪N=R,若x∈(2，3)，此时显然有x∈R,因此“若p则q”为真命题;反过来，若x∈R,例如x=5，此时x?埸(2，3)，因此“若q则p”为假命题。故p是q的充分不必要条件。

突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若“若p则q”为真命题，则p是q的充分条件;若“若q则p”为真命题，则p是q的必要条件;若两者都是真命题，则p是q的充要条件;若两者都是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件。②从集合的观点理解：建立命题p,q相应的集合。 p:A={x|p(x)成立}，q:B={x|q(x)成立}.那么：若A?哿B,则p是q的充分条件;若B?哿A,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件。若A?芫B且B?芫A,则p是q的既不充分也不必要条件。

例3 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

解析 充分性：当q=-1时，a1=p-1;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1)。于是当n≥1时，=p,即数列{an}为等比数列。

必要性：当n=1时，a1=S1=p+q;当n≥2时，an=Sn-Sn-1

=pn-1(p-1)。因为p≠0且p≠1，于是=p.又因为数列{an}为等比数列，所以==p,即=p,解之得q=-1.

综上所述，q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件。

突破 证明p是q的充要条件需要分两步：①充分性，把p作为已知条件，结合命题的前提条件，推出q;②必要性，把q作为已知条件，结合命题的前提条件，推出p.最后综上所述，可得p是q的充要条件。特别注意：充分条件的意义只在于保证结论成立，而不管它对结论成立是否必要;必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少，而不管它对结论成立是否充分。因此，在进行恒等变形或探求充要条件的过程中，只注意推导过程的充分性，其结果有可能缩小范围;只注意推导过程的必要性，其结果有可能扩大范围。

3. “简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分

例4 指出下列命题的真假。

(1) -1是奇数或偶数;

(2) 属于集合Q,也属于集合R;

(3) A?埭(A∪B)。