您当前所在位置:首页 > 高考 > 高考数学 > 高考数学知识点

2014年高考数学知识点:抛物线的标准方程

编辑:zhengyl

2014-03-18

2014高考在即,威廉希尔app 小编在此为大家整理了2014年高考数学知识点:抛物线的标准方程,供大家参考,希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩!

2014年高考数学知识点:抛物线的标准方程

1. 抛物线定义:

平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿,仅比值(离心率e)不同,当e=1时为抛物线,当0

2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同形式方程的几何性质(如下表):

其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦:设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,直线与的斜率分别为,直线的倾斜角为,则有,,,,,,。

说明:

1. 求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。


 

【解题方法指导】

例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长等于,求此抛物线的方程。

解析:设所求抛物线的方程为或

设交点(y1>0)

则,∴,代入得

∴点在上,在上

∴或,∴

故所求抛物线方程为或。


 

例2. 设抛物线的焦点为,经过的直线交抛物线于两点,点在抛物线的准线上,且∥轴,证明直线经过原点。

解析:证法一:由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由,消去得

设,则

∵∥轴,且在准线上

∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明经过原点,只需证明,即证

注意到知上式成立,故直线经过原点。

证法二:同上得。又∵∥轴,且在准线上,∴点坐标为。于是,知三点共线,从而直线经过原点。

证法三:如图,


 

设轴与抛物线准线交于点,过作,是垂足

则∥∥,连结交于点,则


 

又根据抛物线的几何性质,

因此点是的中点,即与原点重合,∴直线经过原点。

评述:本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法,证法三为几何法,充分运用了抛物线的几何性质,数形结合,更为巧妙。

【考点突破】

【考点指要】

抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是5分。

考查通常分为四个层次:

层次一:考查抛物线定义的应用;

层次二:考查抛物线标准方程的求法;

层次三:考查抛物线的几何性质的应用;

层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。

解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。


 

【典型例题分析】

例3. (2006江西)设为坐标原点,为抛物线的焦点,为抛物线上一点,若,则点的坐标为(    )

A.                 B.

C.                 D.

答案:B

解析:解法一:设点坐标为,则


 

解得或(舍),代入抛物线可得点的坐标为。

解法二:由题意设,则,

即,,求得,∴点的坐标为。

评述:本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。


 

例4. (2006安徽)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为(    )

A. -2                  B. 2               C. -4                  D. 4

答案:D

解析:椭圆的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则。

评述:本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。


 

【达标测试】

一. 选择题:

1. 抛物线的准线方程为,则实数的值是(    )

A.                    B.                    C.                 D.

2. 设抛物线的顶点在原点,其焦点在轴上,又抛物线上的点,与焦点的距离为4,则等于(    )

A. 4               B. 4或-4                    C. -2                  D. -2或2

3. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为(    )

A.                           B. 或

C.                              D. 或

4. 圆心在抛物线上,并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为(    )

A.                     B.

C.                     D.

5. 正方体的棱长为1,点在棱上,且,点是平面上的动点,且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1,则点的轨迹是(    )


 

A. 抛物线             B. 双曲线          C. 直线                D. 以上都不对

6. 已知点是抛物线上一点,设点到此抛物线准线的距离为,到直线的距离为,则的最小值是(   )

A. 5               B. 4               C.              D.

7. 已知点是抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点的坐标是,则的最小值是(    )

A.                    B. 4        C.                    D. 5

8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,为坐标原点,则的值是(    )

A. 12                    B. -12                C. 3               D. -3

免责声明

威廉希尔app (51edu.com)在建设过程中引用了互联网上的一些信息资源并对有明确来源的信息注明了出处,版权归原作者及原网站所有,如果您对本站信息资源版权的归属问题存有异议,请您致信qinquan#51edu.com(将#换成@),我们会立即做出答复并及时解决。如果您认为本站有侵犯您权益的行为,请通知我们,我们一定根据实际情况及时处理。