从某种角度看数学属于形式科学的一种，下面是2016届江苏省高三数学复习中档题满分练习，请考生及时练习。

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(a，c)，n=(cos C，cos A).

(1)若m∥n，c=a，求角A;

(2)若m·n=3bsin B，cos A=，求cos C的值.

2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点.

(1)求证：BF∥平面A1EC;

(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.

3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.

(1)求椭圆C2的方程;

(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)

4.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.

(1)用a，θ表示S1和S2;

(2)当a固定，θ变化时，求的最小值.

中档题满分练(一)

1.解　(1)∵m∥n，∴acos A=ccos C.

由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，

化简得sin 2A=sin 2C.

∵A，C∈(0，π)，∴2A=2C(舍)或2A+2C=π，

∴A+C=，∴B=，

在Rt△ABC中，tan A==，故A=.

(2)∵m·n=3bcos B，∴acos C+ccos A=3bsin B.

由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，

从而sin(A+C)=3sin2B.

∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sin B，从而sin B=，

∵cos A=>0，A∈(0，π)，

∴A∈，sin A=.

∵sin A>sin B，∴a>b，从而A>B，B为锐角，

cos B=.

∴cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B

=-×+×=.