验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。以下是函数的奇偶性与周期性专题检测，请大家仔细进行检测。

一、选择题

1.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)等于(　　).A.3 B.1 C.-1 D.-3

解析　由f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.则b=-1，

f(x)=2x+2x-1，f(-1)=-f(1)=-3.

答案　D

2.已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为 (　　).

A.-1 B.0 C.1 D.2

(构造法)构造函数f(x)=sin x，则有f(x+2)=sin=-sin x=-f(x)，所以f(x)=sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)=sin 3π=0，故选B.

答案　B

3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x[3,5]时，f(x)=2-|x-4|，则下列不等式一定成立的是(　　).

A.f>f B.f(sin 1)f(sin 2)

解析　当x[-1,1]时，x+4[3,5]，由f(x)=f(x+2)=f(x+4)=2-|x+4-4|=2-|x|，

显然当x[-1,0]时，f(x)为增函数;当x[0,1]时，f(x)为减函数，cos=-，sin =>，又f=f>f，所以f>f.

答案　A

4.已知函数f(x)=则该函数是(　　).

A.偶函数，且单调递增 B.偶函数，且单调递减

C.奇函数，且单调递增 D.奇函数，且单调递减

解析　当x>0时，f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时，f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).当x=0时，f(0)=0，故f(x)为奇函数，且f(x)=1-2-x在[0，+∞)上为增函数，f(x)=2x-1在(-∞，0)上为增函数，又x≥0时1-2-x≥0，x<0时2x-1<0，故f(x)为R上的增函数.

答案　C.已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x[0,1)时，f(x)=4x-1，则f(-5.5)的值为(　　)

A.2 B.-1 C.- D.1

解析 f(-5.5)=f(-5.5+6)=f(0.5)=40.5-1=1.

答案　.设函数D(x)=则下列结论错误的是(　　).

A.D(x)的值域为{0,1} B.D(x)是偶函数

C.D(x)不是周期函数 D.D(x)不是单调函数

解析　显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确.若x是无理数，-x，x+1是无理数;若x是有理数，-x，x+1也是有理数.D(-x)=D(x)，D(x+1)=D(x).则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误.

答案　C二、填空题

.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=________.

解析　由题意知，函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数，则f(1)=f(-1)，1-|1+a|=1-|-1+a|，a=0.

答案　0

.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=________.

解析　因为y=f(x)+x2是奇函数，且x=1时，y=2，所以当x=-1时，y=-2，即f(-1)+(-1)2=-2，得f(-1)=-3，所以g(-1)=f(-1)+2=-1.

答案　-1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，当x[0,5]时，函数y=f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________.解析　由原函数是奇函数，所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在[0,5]上的图象，得它在[-5,0]上的图象，如图所示.由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)(2,5).答案　(-2,0)(2,5)