西江中学2015届高三数学10月月考试题（理科）

参考公式：

独立性检验：设随机变量  (其中 )是由观测样本的2×2列联表所得到的随机变量，则 的计算值 对应的概率 ≥ 如下表所示：

P(K2≥k) 0.50 0. 40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

选择题：

1.设全集 ，则

A.{1}      　　　　B.{l,2}       C.{0,1,2}       　D.{一1,0,1,2}

2.复数 满足 ,则在复平面上复数 对应的点位(  )

第一象限      　　 第二象限      第三象限        第四象限

3. 下列函数中，既是奇函数又是在定义域上是减函数的为(  ).

A.    B.        C.         D.

4. 在 中，若 ，则 (  　).

A.             B.       C.      　　 D.

5.如图右所示，该程序运行后输出的结果为  (　　)

A.14　　　　　　B.16     　  C.18          D.64

6.如图1， 、 分别是正方体 中 、 上的动点(不含端点)，则四边形 的俯视图可能是

A.               B.                   C.                      D.

7.现有16张不同卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为(   )

A.232种   B.252种    C.472种   D.484种

8.在区间 上随机取两个数 ，其中满足 的概率是(　)

A.       B.       C.        D.

二、填空题：

9. 不等式 的解集是                    .

10.                      .

11. 已知平面向量 ， ，若 ，则实数          .

12. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是         .

13. 曲线 在点 处的切线方程为                .

选做(两题任选做一题)

14. 以直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点 的极坐标为 ，曲线 的参数方程为 ，则曲线 上的点B与点A距离的最大值为     .

15. 如图,在 中,斜边 ,直角边 ,如果

以C为圆心的圆与AB相切于 ,则 的半径长为          。

解答题：(本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

16. (本小题满分12分)已知 、 都是锐角， ， ，

⑴求 和 的值;

⑵求 和 的值。

17. (本小题12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，得到如下列联表：

文艺节目 新闻节目 总计

20至40岁 40 16 56

大于40岁 20 24 44

总计 60 40 100

⑴用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应抽取几名?

⑵是否有99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?说明你的理由;

18. (本小题满分14分)某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：

各年龄段样本人数频率分布直方图                          “追星族”统计表

组数 分组 “追星族”人数 占本组频率

一 [15，25) a 0.75

二 [25，35) 200 0.40

三 [35，45) 5 0.1

四 [45，55) 3 b

五 [55，65] 2 0.1

(1)求 的值.

(2)设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体， 表示其中“追星族”的人数，求 分布列、期望和方差.

19.(本小题14分)如图，在长方体 中， = =1， ，点E是线段AB中点.

(1)求证： ;

(2)求二面角 的大小的余弦值;

(3)求 点到平面 的距离.

20.(本小题满分14分)焦点在x轴的椭圆 ，过 右顶点 的直线 与曲线 相切，交 于 二点.

(1)若 的离心率为 ，求 的方程.

(2)求 取得最小值时 的方程.

21.(本小题满分14分)21(本小题满分14分)

已知函数 ，曲线 经过点 ，且在点 处的切线为 ： .

⑴ 求常数 ， 的值;

⑵ 求证：曲线 和直线 只有一个公共点;

⑶ 是否存在常数 ，使得 ， 恒成立?若存在，求常数 的取值范围;若不存在，简要说明理由.

2015届西江中学高三理数10月考答案

一、ADCB，ABCB

二、9.        10.      11.

12.0   13.        14.5      15.

三、16.解：(1)⑴因为 都是锐角，所以 ， -----------1分