湖南师大附中2015高三上学期数学第一次月考试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知a是实数，a+i1-i是纯虚数，则a=(A)

A.1  B.-1

C.2  D.-2

2.极坐标方程ρcos2θ=4sin θ所表示的曲线是(C)

A.一条直线  B.一个圆

C.一条抛物线  D.一条双曲线

3.设集合A={x|x>-1}，B={x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是(D)

A.-1

C.x>-1  D.-1

4.如果函数f(x)=sin(π2x+θ)(0<θ<π)是最小正周期为T的偶函数，那么(B)

A.T=4π，θ=π2  B.T=4，θ=π2

C.T=4，θ=π4  D.T=4π，θ=π4

5.已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列命题中正确的是(D)

A.若α∥b，β∥b，则α∥β  B.若α∥a，α∥b，则a∥b

C.若a⊥α，b⊥β，则α∥β  D.若a⊥α，a⊥β，则α∥β

6.若ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>4}，则对于函数f(x)=ax2+bx+c应有(B)

A.f(5)

C.f(-1)

7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A)

A.锐角三角形  B.直角三角形

C.钝角三角形  D.由增加的长度决定

【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2=a2+b2，a+b>c.新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x，知c+x为最大边，其对应角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形.

8.若1a<1b<0，则下列不等式中不正确的是(C)

A.ab

C.a2>b2  D.ba+ab>2

9.已知an=logn+1(n+2)(n∈N*)，观察下列运算：(C)

a1•a2=log23•log34=lg 3lg 2•lg 4lg 3=2;

a1•a2•a3•a4•a5•a6=log23•log34•……•log78

=lg 3lg 2•lg 4lg 3•……•lg 8lg 7=3;…….

若a1•a2•a3•……•ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，

试确定当a1•a2•a3•……•ak=2 014时，“企盼数”k为

A.22 014+2  B.22 014

C.22 014-2  D.22 014-4

【解析】a1•a2•a3•……•ak=lg(k+2)lg 2=2 014⇒lg(k+2)=lg 22 014⇒k=22 014-2.

10.过点(-2，0)的直线l与抛物线y=x22相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于(C)

A.-16  B.-14

C.14  D.12

【解析】对抛物线y=x22，y′=x，l的方程是y=k(x+2)代入y=x22得：x2-2kx-4k=0，设两个交点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ=4k2+16k>0x1x2=-4k，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=-1.∴k=14且满足Δ>0.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

11.在200个产品中，一等品40个，二等品60个，三等品100个，用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，则从二等品中应抽取__12__个.

12.阅读右边的框图填空：若a=0.80.3，b=0.90.3，c=log50.9，则输出的数是__b(或0.90.3)__.

13.若直线y=kx与圆x2+y2-4x+3=0相切，则k的值是__±33__.

14.设函数f(x)=x(ex+1)+12x2，则函数f(x)的单调递增区间为__[-1，+∞)__.

15.当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数.如N(3)=3，N(10)=5，….记S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n).

则(1)S(3)=__22__;(2)S(n)=__4n+23__.

【解析】由题设知，N(2n)=N(n)，N(2n-1)=2n-1.又S(0)=N(1)=1.

(1)S(3)=[N(1)+N(3)+N(5)+N(7)]+[N(2)+N(4)+N(6)+N(8)]

=[1+3+5+7]+[N(1)+N(2)+N(3)+N(4)]

=42+S(2)=42+41+S(1)=42+41+40+S(0)=22.

(2)S(n)=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6)+…+N(2n)]

=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n-1)]，

∴S(n)=4n-1+S(n-1)(n≥1)，

∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=4n+23.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)

已知函数f(x)=3sin ωx•cos ωx+cos2ωx+1(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值;

(2)求当x∈(0，π2]时f(x)的值域.

【解析】(1)f(x)=3sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx2+1

=32sin 2ωx+12cos 2ωx+32

=sin2ωx+π6+32.

∵ω>0，∴T=2πω=π，∴ω=2.　(6分)

(2)由(1)得：f(x)=sin2x+π6+32.

∵0

∴-12≤sin(2x+π6)≤1，

∴1≤f(x)≤52，

∴f(x)的值域是1，52.　(12分)

17.(本题满分12分)

某中学高三(1)班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：

组序 分组 频数 频率

第一组 [180，210) 5 0.1

第二组 [210，240) 10 0.2

第三组 [240，270) 12 0.24

第四组 [270，300) a b

第五组 [300，330) 6 c

(1)求表中a、b、c的值;

(2)某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样的方法从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，则在第二组学生中应抽取多少人?

(3)已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.