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2017年高考数学一轮复习备考方法例析

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2016-09-26

那么

,如图 6—2,曲线 在弦AB的下方,我们称它是下凹的函 数,同理,由 ,又说明下凹函数有性质:

以上结论与曲线所在象限无关,这是因为曲线经过平移后,不影响它们的数量关系.

题中的四个函数,  所以在(0,1)内,式子 不是恒成立。又 是下凹的,只有 是上凸的,这就是说,在(0,1)内,使式子

恒成立的函数只有一个。∴选B。(参看图7,1—4)

后记:无独有偶,今年的北京卷也有类似的试题:对于函数 ,有如下结论:①    ②   ③    ④

当 时,上述结论中正确结论的序号是本题的正确答案是②③,它与湖北卷第6题有异曲同工之妙. ,

(八)惜墨如金 小题小作

【题8】(2005.全国2卷.12题)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四

面体的高的最小值为(         )

A               B                C               D

【说明】对于这一题,笔者从某参考资料上看到的答案十分繁杂,原文如下:

【解析】正四面体的高最小时,即四个小钢球与正四面体的各个面相切。首先求出一个小球的球心O1到

另三个小球球心所在平面O2O3O4的距离(如图7--1)。

O1O2=O2O3=O3O4=O4O1=2  O2E=   O2O=   ∴OO1=

然后再求出最上面的小球的球心O1到正四面体的顶点A的距离AO1,(如图7--2)

设AB=x  则BO,=   ∴O’A=   ∴O1A= -1=O1B

∵AO,⊥O,B    ∴O1B2=O,O12+O,B2      ∴( -1)2=12+

∵ - +1=1+    ∴ - =0   ∵x≠O  ∴x=

∴O,A= × =4       ∴O1A=3

由题意可知三个球面到正四面体底面的距离为1 ,∴正四面体的高

的最小值为 3+1+ =4+

以上是正文。原文还有点评,这里从略。

就本题而言,以上的解法确实太繁了.在高考的有限时间里,花这么

大的代价是不值的.以下提出两种简略些的方法.

【解1】为求正四面体的高的最小值,只须解决三个问题:

其一,这4个钢球两两外切,其球心也连成一个正四面体,因为其棱长为2,所以它的高为2• = ;

其二,这个球心四面体与原正四面体的两底面距离为1(等于球的半径);

其三,这个球心四面体与原正四面体的两顶距离为3(等于球的半径的3倍),因此 ,这个正四面体的高

的最小值为 ,∴选C。

【解2】我们不妨称原四面体为 “容器正四面体”,四个球心连成的四面体为“球心正四面体”.

“球心正四面体”与“容器正四面体”是同“中心”的相似体,相似中心就是这个共同的“中心”.

既然这个公共的中心以1∶3的比例分割了球心正四面体的高线,那么,还是这个公共的中心应以1∶3

的比例分割容器正四面体的高线.既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了1个小球半径,那么,对应

的高线应该向上面的顶点延长3个小球半径.于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出4个

小球半径.因而?C  是最合理的答案.

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