【说明】(1)原题没有对点P在第一象限曲线上的位置

有所限制，这意味着λ的取值与点P的具体位置无关，也就是

λ是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因.

(2)本题源于如下轨迹题：已知定点A(-a,0),F(2a,0).

一动点p(x,y)满足∠PFA=2∠PAF,求点P的轨迹.

【解析】如图4——2，设∠PAF=α，则∠PFA=2α.

.由正切的二倍角公式：

所求轨迹为双曲线的右支(不含右顶点).

(五)他山之石 可以攻玉

【题5】(2010.武汉二月调考.10题). 过定点P(3,1)的直线 交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则△OAB周长的最小值为(          )

A.8               B.10               C.12                D.

【分析1】本题是名副其实的“不小的小题”，不能用特殊值法解决，从形式上看，由于题中有坐标系为背景，是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做，却何其难也.假如思考方向不限于解析法，例如用三角法去做，却是“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”

【解析1】如图1，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则ON=2,ON=1.

设∠OAB=∠NPB=α，则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.

于是△OAB的周长

于是 ，故选B.

【说明】进一步研究：当且仅当 ，即 时等式成立.此时 .于是 ，满足OA+AB+OB=10.

【分析2】在华中师大数学通讯网站上，一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法，现介绍如下：

【解析2】首先证明：直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径.

如图2，设直角△OAB斜边上旁切圆的圆心为Q(a,a)

作QH⊥AB于H, QM⊥x轴于M，QN⊥y轴于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.

连PQ,则 .令 即

(舍)，或 .于是所求△OAB的最小值为L=2a=10.

本题还可以用导数法求解,这里从略.

(六)避实击虚 反客为主

【题6】(2007.北京海淀区高三数学期中试题8)：已知函数

.若实数 使得 有实根，则 的最小值为( )

(A)      (B)      (C)1     (D)2

【分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.

【解解析】将 改写为： .

令

在直角坐标系aOb中，设 为直线(1)上一点，则 .

又设原点到直线(1)的距离为 ，那么

再令 上增，故

.也就是 的最小值为 ，选(A)

(七)擒贼擒王 解题寻根

【题7】(2005.湖北卷.6题)：在 这四个函数中，

当 恒成立的函数的个数是(       )

A，0                B，1                   C，2                 D，3

【分析】虽然是一道小题，可就是这一道不起眼的小题，那一届却难倒了一大批考生.即使是考后，有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数，如果逐一探究，哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思：擒贼擒王，解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢?

原来除直线函数外，无论什么函数的图像都是曲线，而曲线只有“上凸”和“下凹”两种简单形式，这就是本题的“根”.

【解析】解本题应先掌握凸，凹函数的性质，

如图6—1，曲线 在弦AB的上方，我们

称它是上凸的函 数，在曲线上任取两点

A，B，作

有

交 于C，AB于M，