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2017年高考数学一轮复习备考方法例析

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2016-09-26

【说明】(1)原题没有对点P在第一象限曲线上的位置

有所限制,这意味着λ的取值与点P的具体位置无关,也就是

λ是一个常数.这就是本题可以取特殊位值的根本原因.

(2)本题源于如下轨迹题:已知定点A(-a,0),F(2a,0).

一动点p(x,y)满足∠PFA=2∠PAF,求点P的轨迹.

【解析】如图4——2,设∠PAF=α,则∠PFA=2α.

.由正切的二倍角公式:

所求轨迹为双曲线的右支(不含右顶点).

(五)他山之石 可以攻玉

【题5】(2010.武汉二月调考.10题). 过定点P(3,1)的直线 交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点,则△OAB周长的最小值为(          )

A.8               B.10               C.12                D.

【分析1】本题是名副其实的“不小的小题”,不能用特殊值法解决,从形式上看,由于题中有坐标系为背景,是一道解析法求最值的问题.但是若真用解析几何的方法去做,却何其难也.假如思考方向不限于解析法,例如用三角法去做,却是“山穷水复疑无路,柳暗花明又一村”

【解析1】如图1,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,则ON=2,ON=1.

设∠OAB=∠NPB=α,则NB=2tonα,MA=cotα,AP=cscα,PB=2secα.

于是△OAB的周长

于是 ,故选B.

【说明】进一步研究:当且仅当 ,即 时等式成立.此时 .于是 ,满足OA+AB+OB=10.

【分析2】在华中师大数学通讯网站上,一位朋友利用几何思想给出了本题的绝妙解法,现介绍如下:

【解析2】首先证明:直角三角形的周长等于其斜边上旁切圆的直径.

如图2,设直角△OAB斜边上旁切圆的圆心为Q(a,a)

作QH⊥AB于H, QM⊥x轴于M,QN⊥y轴于N那么QM=QN=QH=a.由△QAM≌△QAP知QM=QH,且AM=AH.同理QN=QH且BN=BH.于是L=QM+QN=2QH=2a.

连PQ,则 .令 即

(舍),或 .于是所求△OAB的最小值为L=2a=10.

本题还可以用导数法求解,这里从略.

(六)避实击虚 反客为主

【题6】(2007.北京海淀区高三数学期中试题8):已知函数

.若实数 使得 有实根,则 的最小值为( )

(A)      (B)      (C)1     (D)2

【分析题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.

【解解析】将 改写为: .

在直角坐标系aOb中,设 为直线(1)上一点,则 .

又设原点到直线(1)的距离为 ,那么

再令 上增,故

.也就是 的最小值为 ,选(A)

(七)擒贼擒王 解题寻根

【题7】(2005.湖北卷.6题):在 这四个函数中,

当 恒成立的函数的个数是(       )

A,0                B,1                   C,2                 D,3

【分析】虽然是一道小题,可就是这一道不起眼的小题,那一届却难倒了一大批考生.即使是考后,有些教师为了解这道题也费了九牛二虎之力.为什么因为题中的四个函数,如果逐一探究,哪都不是省油的灯.为此人们不得不反思:擒贼擒王,解题寻根.这道题的根究竟在哪里呢?

原来除直线函数外,无论什么函数的图像都是曲线,而曲线只有“上凸”和“下凹”两种简单形式,这就是本题的“根”.

【解析】解本题应先掌握凸,凹函数的性质,

如图6—1,曲线 在弦AB的上方,我们

称它是上凸的函 数,在曲线上任取两点

A,B,作

交 于C,AB于M,

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