点评： 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用及二元一次方程组的解法，在解答时找到反映整个题意的等量关系建立方程时关键.

21.(8分)(2014•岳阳)为了响应岳阳市政府“低碳出行、绿色出行”的号召，某中学数学兴趣小组在全校2000名学生中就上学方式随机抽取了400名学生进行 抽样调查，经统计整理绘制出图a、图b两幅不完整的统计图：

A：步行;B：骑自行车;C：乘公共交通工具;D：乘私家车;E：其他.

请根据统计图提供的信息解答下列问题：

(1)图a中“B”所在扇形的圆心角为　90°　;

(2)请在图b中把条形统计图补充完整;

(3)请根据样本数据估计全校骑自行车上学的学生人数.

考点： 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.

分析： (1)先求出“B”所在扇形的百分比，再乘360°就是“B”所在扇形的圆心角.

(2)先求出C的学生数，再绘图.

(3)用全校人数乘骑自行车上学的学生人数的百分比即可.

解答： 解：(1)图a中“B”所在扇形的百分比为：1﹣45%﹣10%﹣5%﹣15%=25%，

图a中“B”所在扇形的圆心角为：25%×360°=90°.

故答案为：90°.

(2)C的学生数为：400×45%=180(人)

(3)根据样本数据估计全校骑自行车上学的学生人数为：2000×25%=500(人).

点评： 本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图的数据相结合求解.

22.(8分)(2014•岳阳)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置.

(1)求证：△BEF∽△CDF;

(2)求CF的长.

考点： 相似三角形的应用.

分析： (1)利用“两角法”证得这两个三角形相似;

(2)由(1)中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度.

解答： (1)证明：如图，在矩形ABCD中，由对称性可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，

∴△BEF∽△CDF;

(2)解：∵由(1)知，△BEF∽△CDF.

∴ = ，即 = ，

解得：CF=169.

即：CF的长度是169cm.

点评： 本题考查了相似三角形的应用.此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的.

23.(10分)(2014•岳阳)数学活动﹣求重叠部分的面积

(1)问题情境：如图①，将顶角为120°的等腰三角形纸片(纸片足够大)的顶点P与等边△ABC的内心O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△PAB的面积为　 　.

(2)探究1：在(1)的条件下，将纸片绕P点旋转至如图②所示位置，纸片两边分别与AC，AB交于点E，F，图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积是否相等?如果相等，请给予证明;如果不相等，请说明理由.

(3)探究2：如图③，若∠CAB=α(0°<α<90°)，AD为∠CAB的角平分线，点P在射线AD上，且AP=2，以P为顶点的等腰三角形纸片(纸片足够大)与∠CAB的两边AC，AB分别交于点E、F，∠EPF=180°﹣α，求重叠部分的面积.(用α或 的三角函数值表示)

考点： 几何变换综合题.

专题： 探究型.

分析： (1)由点O是等边三角形ABC的内心可以得到∠OAB=∠OBA=30°，结合条件OA=2即可求出重叠部分的面积.

(2)由旋转可得∠FOE=∠BOA，从而得到∠EOA=∠FOB，进而可以证到△EOA≌△FOB，因而重叠部分面积不变.

(3)在射线AB上取一点G，使得PG=PA，过点P作PH⊥AF，垂足为H，方法同(2)，可以证到重叠部分的面积等于△PAG的面积，只需求出△PAG的面积就可解决问题.

解答： 解：(1)过点O作ON⊥AB，垂足为N，如图①，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠CAB=∠CBA=60°.

∵点O为△ABC的内心

∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA.

∴∠OAB=∠OBA=30°.

∴OB=OA=2.

∵ON⊥AB，

∴AN=NB，PN=1.

∴AN=

∴AB=2AN=2 .

∴S△OAB=AB•PN= .

故答案为： .

(2)图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等.

证明：连接AO、BO，如图②，

由旋转可得：∠EOF=∠AOB，则∠EOA=∠FOB.

在△EOA和△FOB中，

∴△EOA≌△FOB.

∴S四边形AEOF=S△OAB.

∴图②中重叠部分的面积与图①重叠部分的面积相等.