(1)当AB=PA，且PC=12时，求PA的值;

(2)D是BC的中点，PD交AC于点E.求证： = .

考点： 圆的综合题.

分析： (Ⅰ)证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，易证得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得PA•PB=PD•PE，由图1知，PC 2=PD•PE，即可证得结论;

证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，由PC是⊙O的切线，易证得△PBC∽△PCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论;

(Ⅱ)(1)由(1)得，PC 2=PA•PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC 2=PA•PB=PA(PA+AB)=2PA2，继而求得答案;

(2)证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，由平行线分线段成比例定理即可求得 = ， = ，又由PC 2=PA•PB，即可证得结论;

证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G， 由平行线分线段成比例定理即可求得 = ， = ，又由PC 2=PA•PB，即可证得结论.

解答： 解：(Ⅰ)当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC 2=PA•PB仍然成立.

证法一：如图2﹣1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，

∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，

∴△PBD∽△PEA，

∴ ，

即PA•PB=PD•PE，

由图1知，PC2=PD•PE，

∴PC2=PA•PB.

证法二：如图2﹣2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，

∵PC是⊙O的切线，

∴PC⊥CD，

∴∠CAD=∠PCD=90°，

即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，

∴∠D=∠2.

∵∠D=∠B，

∴∠B=∠2，

∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCA，

所以 ，

即PC 2=PA•PB.

(Ⅱ)由(1)得，PC2=PA•PB，PC=12，AB=PA，

∴PC2=PA•PB=PA(PA+AB)=2PA2，

∴2PA2=144，

∴PA=±6 (负值无意义，舍去).

∴PA=6 .

(2)证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，

∴ = ， = .

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

∴ = ，

∴ = .

∵PC 2=PA•PB，

∴ = = = ，

即 = .

证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，

∴ = ， = .

∵D为BC的中点，

∴BD=CD，

∴ = ，

∴ = .

∵PC 2=PA•PB，

∴ = = = ，

即 = .

点评： 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识.此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

22.(14分)(2014•日照)如图1，在菱形OABC中，已知OA=2 ，∠AOC=60°，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过O，C，B三点.

(Ⅰ)求出点B、C的坐标并求抛物线的解析式.

(Ⅱ)如图2，点E是AC的中点，点F是AB的中点，直线AG垂直BC于点G，点P在直线AG上.

(1)当OP+PC的最小值时，求出点P的坐标;

(2)在(1)的条件 下，连接PE、PF、EF得△PEF，问在抛物线上是否存在点M，使得以M，B，C为顶点的三角形与△PEF相似?若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

考点： 二次函数综合题.

分析： (Ⅰ)作CH⊥OA于点H，通过解三角函数求得A、C的坐标，由菱形的性质得出B点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式.

(Ⅱ)(1)先求得抛物线的顶点坐标和与x轴的另一个交点坐标，当OP+PC最小时，由对称性可知，OP+PC=OB.由于OB是菱形ABCO的对角线，即可求得

∠AOB=30°，然后通过解直角三角函数即可求得AP的长，进而求得P点的坐标;

(2)先求得△PEF是底角为30°的等腰三角形，根据OC=BC=BD=2 ，∠BOC=∠BDC=30°，求得△OBC∽△BCD∽△PEF，又因为AQ=4，AG=3，BC=2 ，

所以GQ=1，BG= ，所以，tan∠BGQ= = ，即∠BGQ=30°，得出△BQC也是底角为30°的等腰三角形，即可求得符合条件的点M的坐标.

解答： 解：(Ⅰ)如图1，作CH⊥OA于点H，

四边形OABC是菱形，OA=2 ，∠AOC=60°，

OC=2 ，OH=sin60°2 = ，CH=cos60°2 =3，

A点坐标为(2 ，0)，C 点的坐标为( ，3)，

由菱形的性质得B点的坐标为(3 ，3).

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得

，

解得a=﹣ ，b= ，c=0，

所以，y=﹣ x2+ x.

(Ⅱ)(1)如图2，由(Ⅰ)知抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x，

所以对称轴为x=2 ，顶点为Q(2 ，4).

设抛物线与x轴的另一个交点为D，令y=0，得，x2﹣4 x=0，