18.(8分)(2014•日照)在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最后决赛的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会.在如图所示的翻奖牌正面的4个数字中选一个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择数字了.

(1)请用树状图(或列表)的方法求甲、乙二人得到的奖品都是计算器的概率.

(2)有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗?请说明理由.

考点： 列表法与树状图法.

分析： (1)首先画树形图可知：一共有24种情况，甲、乙二人都得到计算器共有4种情况除以总情况数即为所求概率;

(2)根据(1)中的树形图，分别求出甲、乙、丙得到篮球的概率即可.

解答： 解：(1)所有获奖情况的树状图如下：

共有24种可能的情况，其中甲、乙二人都得到计算器共有4种情况，

所以，甲、乙二人都得计算器的概率为：P= ;

(2)这种说法是不正确的.由上面的树状图可知共有24种可能情况：

甲得到篮球有六种可能情况：P(甲)= = ，

乙得到篮球有六种可能情况：P(乙)= = ，

丙得到篮球有六种可能情况：P(丙)= = ，

所以甲、乙、丙三人不管谁先翻奖牌得到篮球的概率都相等.

点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19.(10分)(2014•日照)如图，在正方形ABCD中，边长AB=3，点E(与B，C不重合)是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF.

(1)求证：CF是正方形ABCD的外角平分线;

(2)当∠BAE=30°时，求CF的长.

考点： 正方形的性质;全等三角形的判定与性质;解直角三角形.

分析： (1)过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此可得到∠FCG=∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线;

(2)首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的长.

解答： (1)证明：过点F作FG⊥BC于点G.

∵∠AEF=∠B=∠90°，

∴∠1=∠2.

在△ABE和△EGF中，

∴△ABE≌△EGF(AAS).

∴AB=EG，BE=FG.

又∵AB=BC，

∴BE=CG，

∴FG=CG，

∴∠FCG=∠45°，

即CF平分∠DCG，

∴CF是正方形ABCD外角的平分线.

(2)∵AB=3，∠BAE=30°，∠tan30°= ，

BE=AB•tan30°=3× ，即CG= .

在Rt△CFG中，cos45°= ，

∴CF= .

点评： 主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等.

20.(10分)(2014•日照)如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH.已知：PH∥AE，PK∥BC，DE=100米，EA=60米，BC=70米，CD=80米.以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O.

(Ⅰ)求直线AB的解析式.

(Ⅱ)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S.

(1)用x表示S;

(2)当x为何值时，S取最大值，并求出这个最大值.

考点： 一次函数综合题.

分析： (Ⅰ)根据题意易求A、B的坐标为(0，20)、(30，0).利用待定系数法可以求得直线AB的解析式;

(Ⅱ)(1)点P的坐标可以表示为(x，﹣ x+20)，则PK=100﹣x，PH=80﹣(﹣ x+20)=60+ x，所以根据矩形的面积公式可以求得函数解析式为：S=(100﹣x)(60+ x);

(2)利用(1)中的二次函数的性质来求S的最大值.

解答： 解：(Ⅰ)如图所示，∵OE=80米，OC=ED=100米，AE=60米，BC=70米，

∴OA=20米，OB=30米，

即A、B的坐标为(0，20)、(30，0).

设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，则

，

解得， ，

则直线AB的解析式为y=﹣ x+20;

(Ⅱ)(1)设点P的坐标为P(x，y).

∵点P在直线AB上，所以点P的坐标可以表示为(x，﹣ x+20)，

∴PK=100﹣x，PH=80﹣(﹣ x+20)=60+ x，

∴S=(100﹣x)(60+ x) ;

(2)由S=(100﹣x)(60+ x)=﹣( x﹣10)2+ ，

所以，当x=10时，矩形面积的最大值为：S最大= 平方米.

点评： 本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想.

21.(14分)(2014•日照)阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题：

如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC.

因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠B =∠2.

在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以 = ，即PC2=PA•PB.

问题拓展：

(Ⅰ)如果PB不经过⊙O的圆心O(如图2)等式PC2=PA•PB，还成立吗?请证明你的结论;

综合应用：

(Ⅱ)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P;