28.如图，AB为⊙O的直径，以AB为直角边作Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边BC与⊙O交于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，DG⊥AB于点F，交⊙O于点G.

(1)求证：E是AC的中点;

(2)若AE=3，cos∠ACB= ，求弦DG的长.

【考点】切线的性质;勾股定理;解直角三角形.

【专题】几何综合题.

【分析】(1)连AD，由AB为直径，根据圆周角定理得推论得到∠ADB=90°，从而有∠C+∠EAD=90°，∠EDA+∠CDE=90°，而∠CAB=90°，根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线，而DE与⊙O相切，根据切线长定理得ED=EA，则∠EDA=∠EAD，利用等角的余角相等可得到∠C=∠CDE，则ED=EC，即可得到EA=EC;

(2)由(1)可得AC=2AE=6，结合cos∠ACB= 推知sin∠ACB= ，然后利用圆周角定理、垂径定理，解直角三角形即可求得DG的长度.

【解答】(1)证明：连AD，如图

∵AB为⊙O的直径，∠CAB=90°，

∴AC是⊙O的切线，

又∵DE与⊙O相切，

∴ED=EA，

∴∠EAD=∠EDA，

而∠C=90°﹣∠EAD，∠CDE=90°﹣∠EDA，

∴∠C=∠CDE，

∴ED=EC，

∴EA=EC，

即E为AC的中点;

(2)解：由(1)知，E为AC的中点，则AC=2AE=6.

∵cos∠ACB= ，

设AC=2x，BC=3x，

根据勾股定理，得AB= =(3x)2﹣(2x)2= x，

∴sin∠ACB= .

连接AD，则∠ADC=90°，

∴∠ACB+∠CAD=90°，

∵∠CAD+∠DAF=90°，

∴∠DAF=∠ACB，

在Rt△ACD中，AD=AC•sin∠ACB=6× = .

在Rt△ADF中，DF=AD•sin∠DAF=AD•sin∠ACB= × = ，

∴DG=2DF= .

【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.