【专题】几何综合题.

【分析】(1)连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明OD∥AC即可证明DE⊥AC;

(2)利用△DAE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可.

【解答】(1)证明：连接OD，

∵D是BC的中点，OA=OB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴DE⊥AC;

(2)解法1：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°，

∴∠ADE=∠DCE

在△ADE和△CDE中，

∴△CDE∽△DAE，

∴ ，

设tan∠ACB=x，CE=a，则DE=ax，AC=3ax，AE=3ax﹣a，

∴ ，整理得：x2﹣3x+1=0，

解得：x= ，

∴tan∠ACB= 或 .

(可以看出△ABC分别为锐角、钝角三角形两种情况)

解法2：连OD，过点O作AC的垂线，垂足为F，

∴OF2+AF2=OA2，

∵AC=AF+FE+CE，且AC=AB=3DE，OB=OD=EF，

∴ ，

∴ = 或 ，

∴tan∠ACB= 或 .

【点评】本题主要考查了切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于如何利用三角形相似求出线段DE与CE的比值.

26.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.

(1)求证：AC平分∠DAB;

(2)求证：△PCF是等腰三角形;

(3)若tan∠ABC= ，BE=7 ，求线段PC的长.

【考点】切线的性质;等腰三角形的判定;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.

【专题】证明题.