【分析】(1)连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出结论，

(2)连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC，

【解答】(1)证明：如图，连接OC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵CM是⊙O的切线，

∴OC⊥CM，

∴∠ACM+∠ACO=90°，

∵CO=AO，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠ACM=∠ABC;

(2)解：∵BC=CD，∠ACB=90°，

∴∠OAC=∠CAD，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AD，

又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，

∴△AEC是直角三角形，

∴△AEC的外接圆的直径是AC，

又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，

∴△ABC∽△CDE，

∴ = ，

⊙O的半径为3，

∴AB=6，

∴ = ，

∴BC2=12，

∴BC=2 ，

∴AC= =2 ，

∴△AEC的外接圆的半径为AC的一半，故△ACE的外接圆的半径为： .

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质.解题的关键是找准角的关系.

25.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.

(1)求证：DE⊥AC;

(2)若AB=3DE，求tan∠ACB的值.

【考点】切线的性质.