2016年新人教版九年级数学上册第24章试卷及答案解析

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2016-09-28

19.如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC,作∠APC的平分线交AC于点D.

下列结论正确的是 ②③④ (写出所有正确结论的序号)

①△CPD∽△DPA;

②若∠A=30°,则PC= BC;

③若∠CPA=30°,则PB=OB;

④无论点P在AB延长线上的位置如何变化,∠CDP为定值.

【考点】切线的性质;三角形的角平分线、中线和高;三角形的外角性质;相似三角形的判定与性质.

【专题】几何综合题.

【分析】①只有一组对应边相等,所以错误;

②根据切线的性质可得∠PCB=∠A=30°,在直角三角形ABC中∠ABC=60°得出OB=BC,∠BPC=30°,解直角三角形可得PB= OC= BC;

③根据切线的性质和三角形的外角的性质即可求得∠A=∠PCB=30°,∠ABC=60°,进而求得PB=BC=OB;

④连接OC,根据题意,可知OC⊥PC,∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°,可推出∠DPA+∠A=45°,即∠CDP=45°.

【解答】解:①∵∠CPD=∠DPA,∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA,

∴△CPD∽△DPA错误;

②连接OC,

∵AB是直径,∠A=30°

∴∠ABC=60°,

∴OB=OC=BC,

∵PC是切线,

∴∠PCB=∠A=30°,∠OCP=90°,

∴∠APC=30°,

∴在RT△POC中,cot∠APC=cot30°= = ,

∴PC= BC,正确;

③∵∠ABC=∠APC+∠PCB,∠PCB=∠A,

∴∠ABC=∠APC+∠A,

∵∠ABC+∠A=90°,

∴∠APC+2∠A=90°,

∵∠APC=30°,

∴∠A=∠PCB=30°,

∴PB=BC,∠ABC=60°,

∴OB=BC=OC,

∴PB=OB;正确;

④解:如图,连接OC,

∵OC=OA,PD平分∠APC,

∴∠CPD=∠DPA,∠A=∠ACO,

∵PC为⊙O的切线,

∴OC⊥PC,

∵∠CPO+∠COP=90°,

∴(∠CPD+∠DPA)+(∠A+∠ACO)=90°,

标签:数学试卷

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