⑵.若第1格的“特征多项式”的值为 -10，第2格的“特征多项式”的值为 -16.

①.求 的值;

②.在此条件下，第 的特征是否有最小值?若有，求出最小值和相应的 值.若没有，请说明理由.

考点：找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等.

分析：

⑴. 本问主要是抓住 的排列规律; 在第 格是按 排，每排是 个 来排列的; 在第 格是按 排，每排是 个 来排列的;根据这个规律第⑴问可获得解决.

⑵.①.按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出 的值.

②.求最小值可以通过建立一个二次函数来解决;前面我们写出了第 格的“特征多项式”和求出了 的值，所以可以建立最小值关于 的二次函数，根据二次函数的性质最小值便可求得.

略解：

⑴. 第3格的“特征多项式”为    ，第4格的“特征多项式”为 ，第 格的“特征多项式”为 ( 为正整数);

⑵.①.依题意：   解之得:

②.设最小值为 ,依题意得:

答：有最小值为 ，相应的 的值为12.

七、解答题(本题满分12分)

23、如图，已知抛物线  的对称轴为 ，且抛物线经过 两点，与 轴交于点 .

⑴.若直线 经过 两点，求直线 所在直线的解析式;

⑵. 抛物线的对称轴 上找一点 ,使点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，求出此点 的坐标;

⑶.设点 为抛物线的对称轴 上的一个动点，求使△ 为直角三角形的点 的坐标.

考点：二次函数的性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质、三角形三边之间关系、勾股定理及其逆定理、分类讨论的思想、解方程等.

分析：

⑴. 两点是抛物线 与坐标轴的交

点，根据题中提供的对称轴和 可以确定抛物线

的解析式，再通过抛物线的解析式可求出 两点的坐标，

进一步可求出直线 所在直线的解析式

⑵.要求点 到点 的距离与到点 的距离之和最小，关键是

作出 或 关于直线 为对称轴的对称点，根据二次函

数图象及其性质， 关于直线 的对称点恰好是 ;根据

轴对称的性质和三角形三边之间的关系可知，此时 到点 的

距离与到点 的距离之和即 的值最小; 是直线 和直线 的交点，所以把 代入⑴问中求出的 所在直线的解析式便可求出 的坐标.

⑶. 要使△ 为直角三角形有三种情况，即以点 为直角顶点、以点 为直角顶点、以点 为直角顶点的直角三角形;由于 为抛物线的对称轴 上的一个动点，所以 的横坐标为 ，我们可以设 的纵坐标为一个未知数，利用勾股定理(或者是平面直角坐标系中的两点间的距离公式)分别表示出△ 的三边，再以勾股定理的逆定理为依据，按上面所说的三种情况进行讨论，建立方程解方程后 的纵坐标便可求出.

略解：

⑴.根据题意：   解得：

∴抛物线的解析式为

∵本抛物线的对称轴为 ，且抛物线过点

∴把 分别代入  得:  解得：

∴直线 的解析式为

⑵.设直线 与对称轴 的交点为 ,则此时 的值最小.把 代入 得： .∴ ，即当点 到点 的距离与到点 的距离之和最小时 的坐标为 .

⑶.设 ，又

∴

①.若点 为直角顶点，则 ,即  解得： ;

②.若点 为直角顶点，则 ,即  解得： ;

③.若点 为直角顶点，则 ,即  解得： ,

综上所述 点的坐标为 或 或 或

八、解答题(本题满分14分)

24、在△ 中， ,将△ 绕点 顺时针旋转，得到△ .

⑴.如图①，当点 在线段 延长线上时. ①.求证： ;②.求△ 的面积;

⑵. 如图②，点 是 上的中点，点 为线段 上的动点，在△ 绕点 顺时针旋转过程中，点 的对应点是 ，求线段 长度的最大值与最小值的差.

考点：旋转的特征、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、勾股定理、圆的基本性质等.

分析：

⑴.①.见图①要使 根据本题的条件可以通过这两线所截得内错角 来证得.

如图根据 可以得出 ，根据旋转的特征可以得出 ，所以  ，而 (旋转角相等) ，所以  .

②. 求△ 的面积可以把 作为底边，其高在 的延长线上，恰好落在等腰三角形 的 上;在等腰 和 ,根据等腰三角形的性质、三角函数以及勾股定理可以求出 ，而 ，△ 的面积可以通过 求出.

⑵. 见图②.点 到 的垂线段最短，过点 作 于 ;点 点 的对应点是 ，若以点 为圆心 为半径画圆交 于 , 有最小值;  根据⑴的 和求出的 ，当点 为线段 上的移到端点 时 最长，此时其对应点 移动到 时 也就最长; 如图②，以点 为圆心 为半径画圆交 于的延长线 , 有最大值.  有最小值和最大值都可以利用同圆的半径相等在圆的同一条直径上来获得解决(见图②).

24..略解：

⑴.①.证明：

∵

∴

∵ (旋转角相等)

∴

∴

②.过 作 于 ,过 作 于

∵

∴ (三线合一)

∵在Rt 中，  ,又

∴

∴

∴

∴作 后  (三线合一)

∴

∵ 在Rt 中，

∴

∴

∴ (注：也可以用三角函数求出)

∴

∴△ 的面积为：

⑵.如图过点 作 于 ,以点 为圆心 为半径画圆交 于 , 有最小值.此时在 △ 中， .

∴

∴ 的最小值为 ;

如图，以点 为圆心 为半径画圆交 于的延长线

, 有最大值.

此时

∴线段 的最大值与最小值的差 .

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