三.解答题(共8小题)

19.因式分解：(x+y)2(x﹣y)﹣(x+y)(x﹣y)2.

解：(x+y)2(x﹣y)﹣(x+y)(x﹣y)2

=(x+y)(x﹣y)[(x+y)﹣(x﹣y)]

=2y(x+y)(x﹣y)

20.(2014•崇明县二模)解方程： + =4.

解：设y= ，

得： +y=4，

y2﹣4y+3=0，

解得y1 =1，y2=3.

当y1=3时， =1，x2﹣x+1=0，此方程没有数解.

当y2=3时， =3，x2﹣3x+1=0，解得x= .

经检验x= 都是原方程的根，

所以原方程的根是x= .

21.(2008•安顺)若关于x的分式方程 的解是正数，求a的取值范围.

解：去分母，得2x+a=2﹣x

解得：x= ，∴ >0

∴2﹣a>0，

∴a<2，且x≠2，

∴a≠﹣4

∴a<2且a≠﹣4.

22.(2012•珠海)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.

(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN;(保留作图痕迹，不写作法和证明)

(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状.(只写结果)

：(1)如图所示：

(2)△ADF的形状是等腰直角三角形，

理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AF平分∠EAC，

∴∠EAF=∠FAC，

∵∠FAD=∠FAC+∠DAC= ∠EAC+ ∠BAC= ×180°=90°，

即△ADF是直角三角形，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，

∴∠EAF=∠B，

∴AF∥BC，

∴∠AFD=∠FDC，

∵DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，

∴AD=AF，

即直角三角形ADF是等腰直角三角形.

23.已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点(A、B、C不与点O 重合)，连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.

(1)如图1，若AB∥ON，则

①∠ABO的度数是　20°　;

②当∠BAD=∠ABD时，x=　120°　;当∠BAD=∠BDA时，x=　60°　.

(2)如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角?若存在，求出x的值;若不存在，说明理由.

解：(1)①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°

∵AB∥ON∴∠ABO=20°

②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°

∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°

故答案为：①20     ②120，60

(2)①当点D在线段OB上时，

若∠BAD=∠ABD，则x=20

若∠BAD=∠BDA，则x=35

若∠ADB=∠ABD，则x=50

②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，

所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125.