23.解：已知：如图，在△ABC中， ，

求证：∠ ∠ .

证明：假设∠ ∠C，那么根据“等角对等边”可得 ，

但已知条件是 ，矛盾，因此∠ ∠ .

24.解：能.⑴小明错用了菱形的定义.

⑵改正：∵  ∥ ， ∥ ，∴ 四边形 是平行四边形.

∵ 平分∠ ，∴ ∠ ∠2.

∵  ∥ ，∴ ∠ ∠2，∴ ∠ =∠3.

∴  ，∴ 平行四边形 是菱形.

25.分析：根据平移的性质可得CF=AD=10 cm，DF=AC=10 cm，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论.

证明：由平移变换的性质得CF=AD=10 cm，DF=AC.

∵ ∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，∴ AC=10 cm.

∴ AC=DF=AD=CF=10 cm，∴ 四边形ACFD是菱形.

26.(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.

∵ ∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.

在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，

∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴ EF=MF.

(2)解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x.

∵EB=AB-AE=3-1=2，在Rt△EBF中，

由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+(4-x)2=x2，

解得：x= ，即EF= .

27. (1) 解:如图，作DE∥AB，DF⊥BC.

因为AD∥BC ，所以四边形ABED是平行四边形，

所以AB=DE，AD=BE.

因为AB=CD，所以DE=DC.

又DF⊥BC，所以EF=FC.

因为AD=5，BC=11， 梯形的高是4，

所以EC=BC-AD=6，EF=FC=3，DF=4，

从而 ，

梯形的周长为AB+BC+CD+AD=5+11+5+5=26.

(2) 解：若AD=a，BC=b，梯形的高是h，则DF=h，EF=FC= (b-a)， .

所以梯形的周长c=AB+BC+CD+AD= .

(3)证明：如图，过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E.

由等腰梯形的性质得AC=BD.因为AD∥BC， ED∥AC，

所以四边形ACED是平行四边形，

所以AD=CE，AC=DE，从而BD=DE= .

又BE=BC+CE=BC+AD=10，

所以 ，

所以DE⊥BD，即AC⊥BD.

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