三、解答题(共40分)

21.(5分)如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点(M与A不重合)，MD⊥BC，MD交∠BAC的平分线于点D，求证： .

22.(5分)如图，在四边形ABCD中， ， ，BD平分∠A BC.

求证：∠ ∠ 180°.

23.(5分)用反证法证明：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的角也不相等.

24.(5分)辨析纠错.

已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，

DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形.

对于这道题，小明是这样证明的.

证明：∵  平分∠ ，∴ ∠1=∠2(角平分线的定义).

∵  ∥ ，∴ ∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).

∴ ∠1=∠3(等量代换).

∴ (等角对等边).同理可证： .

∴ 四边形 是菱形(菱形定义).

老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗?

(1)请你帮小明指出他错在哪里.

(2)请你帮小明做出正确的解答.

25.(6分)(2012年浙江温州中考)如图，在△ABC中，

∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.将△ABC沿射线BC方

向平移10 cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是

D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形.

26.(7分)(2012年宁夏中考)正方形ABCD的边长为3，

E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°.将

△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.

(1)求证：EF=FM;

(2)当AE=1时，求EF的长.

27.(7分)已知在等腰梯形 D中， ∥ .

(1)若 ， ，梯 形的高是4，求梯形的周长;

(2 )若 ， ，梯形的高是h，梯形的周长为c，

请用 表示c;

(3)若 ， ，  .求证： ⊥ .

第一章  图形与证明(二)检测题参考答案

一、选择题

1.B   解析：因为 ，所以∠ =∠ .

因为 ，所以∠ ∠ ，∠ ∠ C.

又因为∠ ∠ ∠ ，所以∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 2∠ ，

所以∠ 2∠ 2∠ 180°，所以∠ 36°.

2.D   解析：因为 垂直平分AB，所以 .

所以△ 的周长= (cm).

3.D  解析：直角三角形的全等比一般三角形的全等更容易判断，它们本身已有一对角对应相等，只要再有两条边对应相等即可.

4.C  解析: 根据中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长.

∵ D，E，F分别为△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF都是△ABC的中位线，

∴ BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，故△ABC的周长=AB+BC+AC=2(FE + DF +DE)=20.

故选C.

5.A   解析：因为 ， ， 18 cm，所以 9 cm.

因为△AOB的周长为13 cm，所以 (cm).

又因为 ， ， ，所以 cm.

6.D  解析：正方形、矩形、等腰梯形的对角线一定相等，直角梯形的对角线一定不相等.

7.C   解析：如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，连接AC.因为 ，所以AE是CD的中垂线，所以 ，所以三角形ADC是等边三角形，所以∠ 60°，从而∠ 120°.

8.D  解析:因为顺次连接任意一个四边形的各边中点，得到的是平行四边形，而要得到矩形，根据矩形的判定(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，所以该四边形的对角线应互相垂直，只有②④符合.

9.B  解析:如图，在矩形ABCD中， 10 cm， 15 cm， 是∠ 的平分线，则∠ ∠ C.由AE∥BC得∠ ∠AEB，所以∠ ∠AEB，即 ，所以 10 cm， (cm)，故选B.

10.C  解析:如图，作 ∥ ，则四边形 为平行四边形， ， .

又 ⊥ ， ， ，所以 ⊥ .

根据勾股定理得 ，

根据梯形中位线的定义， .

二、填空题

11.16或17  解析：当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2+6=16;当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2+5=17.所以这个等腰三角形的周长为16或17.

12.60°  解析:由题意可知 ，所以∠ ∠ .

又∠ ∠ 30°，所以∠ ∠ ∠ 60°.

13.20 cm  解析:根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得.

14.①②④ 解析：两全等的直角三角形对应的直角边叠合，当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的非直角顶点时，拼成平行四边形(非矩形、菱形、正方形);

当一个直角三角形的直角顶点对应另一个直角三角形的直角顶点时，拼成等腰三角形.

两全等的直角三角形对应的斜边叠合，两互余角的顶点对应时，拼成矩形.

15.6  解析:较短的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形，所以较短对角线的长为6.

16.答案不唯一，只要正确即可，如 或∠ ∠ .

17.26 cm  解析:由EF是梯形ABCD的中位线，则EF∥CD∥AB，且 ， ，则 所以EM是△ADC的中位线，所以  DC.

同理，  DC.

所以   所以 .

又MF为△ABC的中位线，所以 26 cm.

18.①②③ 解析：因为四边形ABCD为菱形，所以AB AD CB CD，∠B=∠D，BE=DF，所以△ ≌△ ，所以AE AF，①正确.

由CB=CD，BE=DF得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正确.

当E，F分别为BC，CD的中点时，BE=DF= BC= DC.连接AC，BD，知△ 为等边三角形，所以 ⊥ ， ⊥ ，所以∠AEF= ，由①知AE AF，故△ 为等边三角形，③正确.

设菱形的边长为1，当点E，F分别为边BC，DC的中点时， 的面积为 ，而当点E，F分别与点B，D重合时， = .故④错.

19.22.5°  解析:由四边形 是正方形，得∠ ∠ 又 ，所以 ，所以∠

20.48  解析:由矩形 可知 ，又 ⊥ ，所以 垂直平分 ，所以 .已知△ 的周长为24 cm，即

所以矩形ABCD的周长为

三、解答题

21.证明：∵  ⊥ ，且∠ 90°，∴  ∥ ，

∴ ∠ ∠D.

又∵ AD为∠ 的平分线，∴ ∠ ∠ ，

∴ ∠ ∠ ，∴  .

22.分析：从条件BD平分∠ABC，可联想到角平分线定理

的基本图形，故要作垂线段.

证明：如图，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，

过点D作 于点F.

因为BD平分∠ ，所以 .

在Rt△ 和Rt△ 中 ， ，

所以Rt△ ≌Rt△ (HL).

所以∠ ∠ .因为∠ ∠ 180°，

所以∠ ∠ 180°.