(七)作业：教材P84中14题.

第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用

教学目的：

⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用

教学难点：如何进行辅助线的添加

教学内容：

(一)复习

1.垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ;⑵ 垂直于弦 ;⑶ 平分弦 ;⑷ 平分弦所对的优弧 ;⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2.应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r = h+d   ;  r2 = d2 + (a/2)2

3.常添加的辅助线：(学生归纳)

⑴ 作弦心距 ;⑵ 作半径 .------构造直角三角形

4.可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据.

(二)应用例题：(让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳)

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米).

说明：①对学生进行爱国主义的教育;②应用题的解题思路：实际问题——(转化，构造直角三角形)——数学问题.

例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.(让学生画图)

解：分两种情况：

(1)当弦AB、CD在圆心O的两侧

过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，

又∵AB∥CD，∴EF⊥CD.(作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论)

由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，

在Rt△OEA中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：OF=3

∴EF=OE+OF=4+3=7.

(2)当弦AB、CD在圆心O的同侧

同(1)的方法可得：OE=4，OF=3.

∴.

说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题;②培养学生作辅助线的方法和能力.

例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.

解：(略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC = )

说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

(三)应用训练：

P8l中1题.

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后.截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.

学生分析，教师适当点拨.

分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决.

(四)小结：

1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

2. 应用定理可以证明的问题;注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题.

探究活动

如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.

(1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由.

(2)当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立?如果不成立，它们之间又有什么关系?并说明理由.

(答案提示：(1)AE=BF，CE+DF=2OH，(2)AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足)

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