第一课时 垂直于弦的直径(一)

教学目标：

(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;

(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;

(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

教学重点、难点：

重点：①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.

难点：垂径定理的证明.

教学学习活动设计：

(一)实验活动，提出问题：

1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

(二)垂径定理及证明：

已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.

求证：AE=EB，  =  ，  =  .

证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，  、  分别和  、  重合.因此，AE=BE，  =  ，  =  .从而得到圆的一条重要性质.

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB，  =  ，  =  .

为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

(三)应用和训练

例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.

分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE=EB= AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.

解：连结OA，作OE⊥AB于E.

则AE=EB.

∵AB=8cm，∴AE=4cm.

又∵OE=3cm，

在Rt△AOE中，

(cm).

∴⊙O的半径为5 cm.

说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r = h+d;　r2 = d2 + (a/2)2