1.3   解直角三角形

本节有3课时.

第1课时为解直角三角形的概念及其简单应用.

1.本节课以平屋顶改建成坡屋顶为问题情境引入，说明现实生活中经常会遇到需要在直角三角形中由已知一些边、角求另一些边、角的问题，为叙述方便，本教科书给出了“解直角三角形”的名称，教学中只需要学生了解即可，不需要背、记概念.

2.例1是解直角三角形的解题过程示范，同时进一步巩固锐角三角函数知识.例1教学时，要注意引导学生分析已知条件，选择合适的求角和边的方法.可先让学生自主选择求∠B和a，b的方法，然后进行交流比较.如：(1)求∠B可以按教科书方法用直角三角形两个锐角互余求得，也可以在求出边长a，b后，通过计算∠B的正切值再用计算器求角得到.但采用后者不仅求解过程复杂，并且得到的是近似值，因此当已知一角时采用两锐角互余的方法求另一角比较合理简捷.(2)在求边长时选用不需要除法运算的三角函数比较便捷.(3)求边长b可用正切函数，由求得.但a是刚求得的近似值，用近似值代入计算不仅增加计算量，还可能影响结果的准确性，因此要尽量避免选用.如上种种，应在例1的基础上引导学生加以归纳、小结，同时培养学生养成解题后的反思总结的习惯，提高解决问题的能力.

2.例2是用解直角三角形的方法解决简单的实际问题，一方面巩固解直角三角形的方法，另一方面是用解直角三角形的方法解决实际问题的示范.例2教学后要引导学生小结：在直角三角形中，当已知两条边求第三边时，一般选用勾股定理;当已知一条边和一个锐角(或锐角的三角函数)时，选用适当的三角函数求解.解决一个问题往往需要综合运用直角三角形的性质、勾股定理和锐角是三角函数等.

第2课时是解直角三角形在解决有关图形计算问题中的进一步应用.

1.对例3中的两个术语“坡比”和“坡角”，容易混淆，教学时可以让学生讨论、区别它们的联系和区别：它们都与坡面有关，坡比是坡面的高度与水平距离的比，坡角是坡面的倾斜角;坡比与坡角的正切值相等.另外还可以引导学生归纳本章学习中遇到过的有关名词，分析它们的异同：斜面、斜坡，倾角、倾斜角等.

2.过梯形上底的端点作梯形的高，是将梯形中的计算问题化归为解直角三角形问题的常用辅助线，在例3教学后要引导学生加以总结.锐角三角形或钝角三角形的高是将其转化为直角三角形的辅助线.总之，过一点向一条线作垂线是将一些图形问题化归为直角三角形问题的基本辅助线.

3.例4教学中应引导学生结合图形加以分析，如果有条件可带学生到跑道上实地查看，动手实践怎样用皮卷尺确定弯道处两点间的路程，引导学生用数学知识可以将较难测量的弧长转化方便测量的弦长，由此将实际问题转化为根据弧长求弦长的数学问题.而根据弧长求弦长在图形中归结为用两条半径和弦AB构造等腰三角形，再作等腰三角形的高，将求弦长的计算问题化归为解直角三角形问题来解决.联系弧长和弦长的关键量是弧所对的圆心角，所以首先要根据弧长的计算公式求出圆心角的度数.

4.通过本节课的“作业题”第4题和第6题，可以引导学生探求当已知三角形的一个锐角A及其两条夹边长b，c求三角形面积的方法，得出三角形的面积公式.但不要求学生记忆该公式.

第3课时是解直角三角形在解决实际问题中的进一步应用.

1.在例5教学中，首先应引导学生分析题意，联系速度与时间和路程的关系，已知时间求速度，关键要知道路程，由此将求速度问题转化为求路程问题.然后根据问题的描述画出船的位置和航行路线，借助图形的直观加以分析，用数形结合的方法将实际问题转化为数学中的解直角三角形问题，这是解决本例的关键，也是本例教学中要让学生重点体验和累积经验之处.

2.例6中A楼的高度，根据所给的条件，由视线、地面水平线和A楼边沿的铅垂线构成直角三角形可直接求得，而D楼的高度不能直接求得，但由条件可以求出A、D两幢楼的落差，由此可求得D楼的高度.因此解决本例的关键是以点A观察点D的视线为斜边和适当的水平线及铅垂线为直角边构造直角三角形，除课本给出的构造方法外，还可以采用过D向水平线AF作垂线的方法得到.教学中可让学生尝试分析问题并构造三角形，然后交流不同构造方法的特点和便捷性，鼓励学生学习的积极性，使学习成为主动的富有个性的过程.

3.例5、例6教学后应引导学生总结，将实际问题化归为解直角三角形问题，构造适当的直角三角形是关键.航行问题中的三角形往往由方位线和航行路线构成，高度测量问题中的三角形由视线、水平线和铅垂线等构成.方位线、视线可分别由方位角和视角确定，要求学生对方位角、和各种视角(如仰角、俯角、观察角)有准确的理解和想象，并准确画出这些线.

4.“课内练习”第3题在画出图形后，需要根据勾股定理列方程解答，这是解直角三角形中常用方程思想，教学中要加以引导总结.

5.本节后的“设计题”，如果学校没有测倾仪，教师可组织部分学生用一个大量角器动手制作.然后让学生分组、分时段实施测量.

课题学习

本课题学习教学目标为：

让学生经历会徽中数学知识的挖掘与欣赏过程，进一步感受数学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣;进一步体会直角三角形中边角之间的关系，加深对锐角三角函数、勾股定理等知识的理解和整体性认识，从而进一步发展应用解直角三角形解决问题的意识和能力.

1.在探索求 ， ，…之前，可让学生思考，怎样画出图1-27，有几种不同的画法，由此让学生体会求的意义，激发探求的积极性.在探索第几个直角三角形的内角 是第一个小于20°的角时，可以引导学生根据图形，列出边长OAn= ≥ ;或根据锐角三角函数的正切函数值随角度的增大而增大的关系列出不等式 ≤tan20°，然后可根据不等式的基本性质，将它变形为 ≥ ，再用计算器进行估计.

2.在探索北京国际数学家大会的会徽中蕴涵的数学时，在引导学生观察会徽特点的基础上，可以用怎样画出这个图案来激发探索的兴趣和探索的方向.如要使图案中的大小正方形边长分别为m，n(m>n)，则可以求出直角三角形的边长来画，也可以求出直角三角形的内角来画.

3.在“课题学习”的教学中，既要放手让学生自主探索，又要引导学生间进行合作与交流.如在学生自主提出关于北京数学家大会会徽的两个数学问题后，应引导学生交流，可请学生邀请同伴解答并相互评价;在学生自主探索如何画出图1-27和图1-28的方法后，让学生交流所想到的不同方法，以及相应画法所需要的数据与求法，并尝试画一画;在学生自主选取大小正方形边长的不同值画出图1-28后，交流所画的图形，欣赏图案的变化等等.

四、本章教学中应注意的问题

1.边角之间的关系用函数来定义，学生理解有困难，教学时应引导学生适当回顾函数的概念，使学生体会三角函数的定义的合理性.

2.注意创设学生熟悉的问题情境.如引入锐角三角函数时，若农村学生没有见过电梯，可以用山坡、屋顶的斜面，或用木板现场搭建斜面等创设问题情境.使学生在熟悉的问题情境中，从已有经验出发，研究其中的数量关系.

3.注意引导学生进行合作交流.如在探索锐角三角函数时，在已知角的边上选点、作垂线、测量、计算比值后让学生及时交流，体会当角的大小固定时，比值与所选点的位置无关;当任意画一个锐角再选点、作垂线、测量、计算比值后，及时交流，体会当角的大小变化时，比值也随之变化，由此体验比值是角的函数.

4.注意引导学生灵活运用所学知识解决现实生活中的实际问题和数学本身的问题.例如在实验得出角的大小固定，比值与点的位置无关时，应及时引导学生用已学过的相似三角形的知识说明结论的正确性;在解决与直角三角形有关的问题中，要引导学生综合运用勾股定理、锐角三角函数，以及相似三角形、方程等知识，选择合理的解决问题方法.

5.注意学生书写三角函数符号的规范性，如sina不能写成sina，sin∠ABC不能写成sinABC或sin∠ABC等.

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