本章对一元二次方程解法的推导充分运用了化归思想，并提到了数学建模。

一、化归之一：把一元二次方程降次为一元一次方程

本章《小结与复习》中说：“解一元二次方程的基本思路是：降低次数，转化为两个一元一次方程”。

有朋友会认为本章运用的“基本思路”是“转化策略”，我不赞成：

第一，“基本思路”应该就是“数学基本思想方法”，它是战略性的，“策略”则是受战略指导的、战役性的方法，解题术则是受策略指导的、战术性的具体技巧，因此“转化策略”不属于“基本思路”即“数学基本思想方法”。

第二，“转化”有二种：一种是等价两物的横向转化，如代数与几何各成一体但等价，用代数方法解几何问题或反之均属横向转化(故应称“数形互化”);另一种是复杂之物向其简单成分的纵向转化，本章所用“降次”方法是把复杂的一元二次方程转化为较简单的两个一元一次方程，属于纵向转化。

第三，横、纵转化所依据的基本思想方法不同。横向转化依据的是结构化基本思想方法：代数体系与几何体系虽组成要素不同，但二者的结构关系相同(同构)，其要素与结构关系可相互“翻译”(以点与数的一一对应为基础)，故可实现代数问题及其解法与几何问题及其解法之间的相互转化。纵向转化依据的是化归化基本思想方法：新学的较复杂数学知识须能化归为已学的较简单数学知识，如复数→实数→有理数→自然数，复杂图形→基本图形，本章则是“一元二次方程→一元一次方程”，它们都属于化归性的纵向转化。

综上可知，本章所运用的“基本思路”(基本思想方法)是“降次”这种化归思想方法——其价值是化新为旧(化未知为已知)、化繁为简从而化难为易。运用这一资源对学生进行数学思想方法教育，让学生领悟它的价值，好处多多。

二、化归之二：公式法→配方法→因式分解法或直接开平方法

本章推导一元二次方程多种解法的路线是从简单到复杂：因式分解法与直接开平方法→配方法→公式法。因式分解法和直接开平方法可直接利用旧知，但只适于解(ax±b)2=c这种特殊形式的方程;对一般式ax2+bx+c=0这种较复杂的方程可用配方法，但很多情况下难以配方;最终推出通用的公式法，且靠此法能推出许多其他一元二次方程的性质(如本章介绍的“判别式及其意义”)。

反过来思考：首先，“公式”从何而来——对ax2+bx+c=0配方而来;然后，配方法又从何而来——变一般式为能因式分解或能直接开平方的特殊式而来。于是可在本章看出化归之二：公式法→配方法→因式分解法或直接开平方法。

为何强调上述化归?因为它表现出数学方法发展的一个规律：复杂方法可化归为简单方法——它不过是简单方法的合成。明白了这一点，学生就会知道：第一，学精简单方法是牢固基础;第二，学复杂方法时要自觉探讨它与简单方法的联系，以达到对“诸方法的整体结构”的整体理解与把握(要重视知识结构、还要重视方法结构);第三，不迷信复杂方法——比如对2x2-8=0，用公式法、配方法、因式分解法都不如用直接开平方法快捷。

发掘多种解题方法之间的化归关系，并让学生领略其价值，这样的数学思想方法教育同样好处多多。