例2. 已知如图，四边形ABCD各边长为AB=3，BC=4，CD=12，AD=13且AB⊥BC.求四边形ABCD的面积.

分析：此四边形不是我们学过的特殊四边形，因此不能利用面积公式直接解答;而此题关键是对角线AC正好把四边形分成两个三角形.因此从给定三边关系看能否判定两个三角形是直角三角形.

解：因为AB⊥BC，所以△ABC为Rt△，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2

所以AC2=32+42=25  所以AC=5

在△ACD中，AC=5，CD=12，AD=13

且AC2+CD2=52+122=25+144=169

而AD2=132=169

所以AC2+CD2=AD2，所以△ACD也是直角三角形，所以AC⊥CD于C

所以S△ACB= AB·BC= ×3×4=6

S△ACD= AC·CD= ×5×12=30

所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=6+30=36

答：四边形ABCD的面积是36(平方单位).

三、小结

[师生共析]

勾股定理逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的.

1. 如何判定一个三角形是否是直角三角形

有两种方法：

(1)是只要一个三角形中有两个角相加等于90°(或两个角互余)，则这个三角形是直角三角形.

(2)如果一个三角形三边之间满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形.

步骤为：①首先求出最大边(如c);

②验证c2与a2+b2是否具有相等关系.

若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C=90°的直角三角形.

若a2+b2≠c2，则△ABC不是直三角形.

勾股定理的逆定理不仅可以判定三角形是否为直角三角形，而且可以判定三角形中哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明.这中间体现了一种代数方法解几何题的思想.即体现数形结合数学思想.

2. 勾股定理逆定理的推广：

三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，有

①若 ，则是直角三角形;

②若 ，则是锐角三角形;

③若 ，则是钝角三角形.

四、补充练习

作业： P85习题

基础知识

1.(1)下列结论错误的是(    )  ;

A.在△ABC中，若∠A=∠C-∠B，则△ABC是直角三角形;

B.在△ABC中，若a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形;

C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度数比是5：2：3，则△ABC是直角三角形;

D.在△ABC中，若三边长a：b：c=2：2：3，则△ABC是直角三角形.

(2)木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据?(      )

A. 25，48，80     B.15，17，62     C.25，59，74     D.32，60，68

2.(1)若一个三角形的三边长为m+1,m+2,m+3,那么当 m=_________时，这个三角形是直角三角形.

(2)如果一个三角形有两边的平方分别为16、25，那么第三边的平方是________时，这个三角形是直角三角形.

3.如图，D是△ABC上的一点，若AB=10，AD=8，AC=17，BD=6.求BC的长.

4. 有一块四边形地ABCD(如图)∠B=90°,AB=4m,BC=3m,CD=12m,DA=13m,求该四边形地ABCD的面积?

综合运用

5. 如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足 ，判断△ABC的形状.

7.正方形网格中，小格的顶点叫做格点.小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上;②连结三个格点，使之构成直角三角形.小华在左边的正方形网格中作出了Rt⊿ABC.请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等.

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