15.(3分)如图，是由四个直角边分别为3和4全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为　1　.

考点： 勾股定理的证明..

分析： 求出阴影部分的正方形的边长，即可得到面积.

解答： 解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是3和4，

∴阴影部分的正方形的边长为4﹣3=1，

∴阴影部分面积为1×1=1.

故答案为1.

点评： 本题考查了“赵爽弦图”，正方形的面积，熟悉“赵爽弦图”中小正方形的边长等于四个全等的直角三角形中两直角边的差是解题的关键.

16.(3分)矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，若AB=5cm，则BD=　10cm　.

考点： 矩形的性质;含30度角的直角三角形..

分析： 根据矩形性质得出AO=BO，BD=2BO，得出等边三角形AOB，推出AB=BO=5cm，即可得出答案.

解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，

∴OA=OB，

∵∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴BO=OA=AB=5cm，

∴BD=2BO=10cm，

故答案为：10cm.

点评： 本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分.

17.(3分)小强欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1000牛顿和0.5米，则当动力臂为1米时，撬动石头至少需要的力为　500　牛顿.

考点： 反比例函数的应用..

分析： 根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2、代入有关数据即可.

解答： 解：由杠杆平衡条件可知：

F1L1=F2L2，

即：F1×1m=100N×0.5m，

F1=500N

答案为：500.

点评： 本题考查学生对杠杆平衡条件的理解和灵活运用，属于基础题目.

18.(3分)我市某中学开展了以“热爱家乡，与环境友好;牵手幸福，与健康同行”为主题的远足训练活动，师生到距学校18千米的森林公园并沿途捡拾垃圾，李老师因有事晚出发2个小时，为追赶师生队伍李老师骑自行车走近路比师生队伍少走了6千米，结果早到达48分钟，已知李老师骑自行车的平均速度是师生步行平均速度的3倍，设师生步行的平均速度为x千米/时，则根据题意可列出方程为：　 = +2+ 　.(直接用方程中的数据，不必化简)

考点： 由实际问题抽象出分式方程..

分析： 设师生步行的平均速度为x千米/时，则李老师骑自行车的平均速度是3x千米/时，根据“李老师因有事晚出发2个小时，为追赶师生队伍李老师骑自行车走近路比师生队伍少走了6千米，结果早到达48分钟”得出等量关系：师生步行18千米的时间=李老师骑自行车12千米的时间+2小时+48分钟，据此列出方程即可.

解答： 解：设师生步行的平均速度为x千米/时，则李老师骑自行车的平均速度是3x千米/时.

由题意， = +2+ .

故答案为 = +2+ .

点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.本题用到的等量关系为：时间=路程÷速度.

三、解答题(共8小题，满分76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(8分)计算： ﹣ .

考点： 分式的加减法..

专题： 计算题.

分析： 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果.

解答： 解：原式= = = .

点评： 此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母.

20.(8分)解分式方程： .

考点： 解分式方程..

分析： 观察可得最简公分母是x(x+2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.

解答： 解：方程的两边同乘x(x+2)，得：3(x+2)=5x，

解得：x=3.

检验：把x=3代入x(x+2)=15≠0.

故原方程的解为：x=3.

点评： 此题考查了分式方程的求解方法.此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意分式方程需检验.

21.(8分)如图，已知E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且AE= AD，CF= BC.求证：四边形AECF是平行四边形.

考点： 平行四边形的判定与性质..

专题： 证明题.

分析： 由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，进而得到AE=CF，又因为AE∥FC，所以四边形AECF是平行四边形.

解答： 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC即AE∥FC，AD=BC，

又AE= AD，CF= BC，

∴AE=CF，

∴四边形AECF是平行四边形.

点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

22.(8分)某公司员工工资情况统计表如下：

月工资/元 5000 4000 2000 1500 1000 700

员工人数 2 4 8 20 8 7

请根据以上信息，解答下列问题：

(1)已知该公司员工工资的平均数1800元，其中位数为　1500　元，众数为　1500　元;

(2)该公司在宣传材料中称，该公司员工工资平均待遇是较高的，你认为宣传材料中所说公司员工工资平均待遇是平均数、中位数、众数中的哪一个数?

(3)补全反应公公司员工工资情况的条形统计图.

考点： 条形统计图;加权平均数;中位数;众数..

分析： (1)利用中位数及众数的定义求解即可;

(2)比较平均数、中位数及众数后即可得到答案;

(3)根据每个档次的员工的人数补全条形统计图即可.

解答： 解：(1)该公司共有49人，中位数应该是排序后第25人的工资数，

∵第25人的工资数是1500，

∴中位数为1500元;

∵1500元出现了20次，最多，

∴众数为1500元;

(2)∵平均数、众数和中位数三个统计量中平均数最高，

∴宣传材料中所说公司员工工资平均待遇是平均数、中位数、众数中的平均数;

(3)补全统计图为：

点评： 本题考查了统计图及有关统计量的知识，解题的关键是结合学生熟悉的现实生活中实际问题进行定量(计算统计量)和定性(估计、判断和预测)分析，用以考查同学们对统计基本思想的理解和用数学的意识.

23.(10分)已知反比列函数y= 的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而增大，

(1)求k的取值范围;

(2)在曲线上取一点A，分别向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为12，求此函数的解析式.

考点： 反比例函数的性质;反比例函数系数k的几何意义..

分析： (1)直接根据反比例函数的性质求解即可，k<0;

(2)直接根据k的几何意义可知：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，所以|k|=12，而k<0，则k=﹣12.

解答： 解：(1)∵反比列函数y= 的图象在每一条曲线上，y都随x的增大而增大，

∴k<0;

(2)设A(x，y)，由已知得，|xy|=|k|=12，

∵k<0，

∴k=﹣12，

所以，反比例函数的解析式为y=﹣ .

点评： 主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义.

24.(10分)(2010•路南区三模)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上.

请按要求完成下列各题：

(1)画AD∥BC(D为格点)，连接CD;

(2)试判断△ABC的形状?请说明理由;

(3)若E为BC中点，F为AD中点.四边形AECF是什么特殊的四边形?请说明理由.

考点： 勾股定理;勾股定理的逆定理;平行四边形的判定;作图—基本作图..

分析： (1)把BC看成左下角的直角三角形斜边，作一个直角三角形与这个三角形全等，使A与B对应，D与C对应，则AD∥BC;

(2)分别计算三边长度，根据勾股定理的逆定理判断;

(3)根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证明四边相等判断是菱形.

解答： 解：(1)如图，AD为所求作的平行线;

(2)△ABC是直角三角形.

∵AB2=12+22=5;AC2=22+42=20;BC2=32+42=25，

∴BC2=AB2+AC2，

∴△ABC为直角三角形;

(3)四边形AECF为菱形.

由作法知BC平行且对于AD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴△ACD为直角三角形.

∵F是AD的中点，

∴CF=AF=2.5.

又∵E是BC中点，

∴AE=EC=2.5.

∴AE=EC=CF=AF.

∴四边形AECF是菱形.

点评： 此题考查直角三角形的判定和性质、特殊四边形的判定及作图能力，综合性较强.

25.(12分)上海世博会开馆前，某礼品经销商预测甲、乙两种礼品能够畅销，用16500元购进了甲种礼品，用44000元购进了乙种礼品，由于乙种礼品的单价是甲种礼品单价的4倍，实际购得甲种礼品的数量比乙种礼品的数量多100个.

(1)求购进甲、乙两种礼品的单价各多少元?

(2)如果要求每件商品在销售时的利润为20%，那么甲、乙两种礼品每件的售价各是多少元?

(3)在(2)的条件下，如果甲种礼品的进价降低了，但售价保持不变，从而使销售甲种礼品的利润率提高了5%，那么此时每个甲种礼品的进价是多少元?(直接写出结果)(利润=售价﹣进价，利润率= ×100%.)

考点： 分式方程的应用..

分析： (1)根据购买两种礼品的总钱数以及单价之间的关系，结合购买数量得出等式求出即可;

(2)利用(1)中所求的进价，利用利润=售价﹣进价，求出即可;

(3)根据已知得出甲种礼品的利润为25%，进而假设出进价得出等式求出即可.

解答： 解：(1)设购进甲种礼品的单价为x元，则购进乙种礼品的单价为4x元，

由题意得： ﹣ =100，

解这个方程，得：x=55，

经检验，x=55是所列方程的根.4x=220.

所以购进甲、乙两种礼品的单价分别为55元和220元.

(2)∵55×20%=11，220×20%=44，

∴55+11=66(元)，220+44=264(元)，

所以甲、乙两种礼品的售价分别为66元和264元.

(3)设每个甲种礼品的进价是x元，根据题意得出：

x(1+25%)=66，

解得：x=52.8，

答：此时每个甲种礼品的进价是52.8元.

点评： 此题主要考查了分式方程的应用以及利润率的求法，根据已知得出进价与售价关系是解题关键.

26.(12分)如图，在某小区的休闲广场有一个正方形花园ABCD，为了便于观赏，要在AD、BC之间修一条小路，在AB、DC之间修另一条小路，使这两条小路等长.设计师给出了以下几种设计方案：

①如图1，E是AD上一点，过A作BE的垂线，交BE于点O，交CD于点H，则线段AH、BE为等长的小路;

②如图2，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，则线段GH、BE为等长的小路;

③如图3，过正方形ABCD内任意一点O作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路;

根据以上设计方案，解答下列问题：

(1)你认为以上三种设计方案都符合要求吗?

(2)要根据图1完成证明，需要证明△　ABE　≌△　DAH　，进而得到线段　BE　=　AH　;

(3)如图4，在正方形ABCD外面已经有一条夹在直线AD、BC之间长为EF的小路，想在直线AB、DC之间修一条和EF等长的小路，并且使这条小路的延长线过EF上的点O，请画草图(加以论述)，并给出详细的证明.

考点： 四边形综合题..

分析： (1)通过证明三角形全等，由全等三角形的对应边相等可以判断以上三种设计方案都符合要求;

(2)在图1中，先由正方形的性质得出∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，根据同角的余角相等得出∠ABE=∠DAH，再利用ASA证明△ABE≌△DAH，进而由全等三角形的对应边相等即可得出BE=AH;

(3)先过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH、EF为等长的小路.再进行证明：过点H作HN⊥AB交AB的延长线于点P，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，利用AAS证明△GHN≌△FEP，即可得出GH=EF.

解答： 解：(1)以上三种设计方案都符合要求;

(2)如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE=∠ADH=90°，AB=AD，

又∵BE⊥AH，

∴∠ABE=∠DAH=90°﹣∠BAH.

在△ABE与△DAH中，

，

∴△ABE≌△DAH(ASA)，

∴BE=AH;

(3)如图，过点O作EF的垂线，分别交AB、DC的延长线于点G、H，则线段GH为所求小路.理由如下：

过点H作HN⊥AG于N，过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P，则∠GNH=∠FPE=90°.

∵AB∥CD，HN⊥AB，CB⊥AB，

∴NH=BC，

同理，EP=DC.

∵BC=DC，∴NH=EP.

∵GO⊥EF，∴∠MFO+∠FMO=90°，

∵∠BGM+∠GMB=90°，∠FMO=∠GMB，

∴∠BGM=∠MFO.

在△GHN与△FEP中，

，

∴△GHN≌△FEP(AAS)，

∴GH=EF.

故答案为：ABE，DAH，BE，AH.

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