(1)推算出S10的值;

(2)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律;

(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值.

【考点】勾股定理;算术平方根.

【专题】规律型.

【分析】(1)由给出的数据直接写出OA102的长，从而得到S10的值即可;

(2)分别求出OA12，OA22，OA33…和S1、S2、S3…Sn，找出规律即;

(3)首先求出S12+S22+S32+…+Sn2的公式，然后把n=10代入即可.

【解答】解：(1)∵OA12=1，OA22=2，OA32=3，

∴OA102=10，

∵S1= ，S2= ，S3= ，…

∴S10= ;

(2)由(1)得：OAn2=n，Sn= ;

(3)∵S12= ，S22= ，S32= ，…S102= ，

S12+S22+S32+…+Sn2= + + +…+ = .

【点评】本题主要考查勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练运用勾股定理，此题难度不大.

25.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+ =(1+ )2.善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b =(m+n )2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b =m2+2n2+2mn .

∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b = ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　m2+3n2　，b=　2mn　;

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　4　+　2　 =(　1　+　1　 )2;

(3)若a+4 = ，且a、m、n均为正整数，求a的值?

【考点】二次根式的混合运算.

【分析】(1)根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式;

(2)首先确定好m、n的正整数值，然后根据(1)的结论即可求出a、b的值;

(3)根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值.

【解答】解：(1)∵a+b = ，

∴a+b =m2+3n2+2mn ，

∴a=m2+3n2，b=2mn.

故答案为：m2+3n2，2mn.

(2)设m=1，n=1，

∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2.