三、解答题(共46分)

19.(2014秋•赣州期末)如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水.

(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置?

(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置?

请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹.

考点： 作图—应用与设计作图.

分析： 根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解.

解答： 解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，

作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等.

(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，

理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的.

点评： 本题利用了中垂线的性质，轴对称的性质，三角形三边的关系求解.

20.(2014秋•临清市期末)已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC.

考点： 全等三角形的判定与性质.

专题： 证明题.

分析： 由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论.

解答： 证明：∵BF=AC，FD=CD，AD⊥BC，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)

∴∠C=∠BFD，

∵∠DBF+∠BFD=90°，

∴∠C+∠DBF=90°，

∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°

∴∠BEC=90°，即BE⊥AC.

点评： 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题.

21.(2014秋•阳泉校级期中)如图，△ABC中，AD平分∠CAB，BD⊥AD，DE∥AC.求证：AE=BE.

考点： 等腰三角形的判定与性质.

专题： 证明题.

分析： 由AD平分∠CAB，DE∥AC可证得∠DAE=∠ADE，得到AE=DE，再结合BD⊥AD，可得∠EDB=∠EBD，得到ED=EB，从而可得出结论.

解答： 证明：∵DE∥AC，

∴∠CAD=∠ADE，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠EAD，

∴∠EAD=∠ADE，

∴AE=ED，

∵BD⊥AD，

∴∠ADE+∠EDB=90°，∠DAB+∠ABD=90°，

又∠ADE=∠DAB，

∴∠EDB=∠ABD，

∴DE=BE，

∴AE=BE.

点评： 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，利用DE作中介得到AE=DE，BE=DE是解题的关键.