21、(7分)解：连接AF

∵∠BAC=120°AB=AC

∴∠B=∠C=30°………………1分

FE是AC的垂直平分线

∴AF=CF

∴∠FAC=30°…………………2分

∴∠BAF=∠BAC-∠CAF

=120°-30°

=90°……………………1分

又∵∠B=30°

∴AB=2AF…………………………2分

∴AB=2CF…………………………1分

22、(9分)证明：(1)∵OE平分∠AOB  EC⊥OA   ED⊥OB

∴DE=CE………………………2分

∴∠EDC=∠ECD………………1分

(2)∵∠EDC=∠ECD

∴△EDC是等腰三角形

∵∠DOE=∠CDE………………………………1分

∴∠DEO=∠CEO………………………………1分

∴OE是∠DEC的角平分线…………………2分

即DE是CD的垂直平分线…………………2分

23、(12分)解：(1)AR=AQ…………………………………………1分

∵△ABC是等腰三角形

∴∠B=∠C……………………………………1分

∵RP⊥BC

∴∠C+∠R=90°

∠B=∠PQB=90°………………………………1分

∴∠PQB=∠R……………………………………1分

又∠PQB=∠AQR

∴∠R=∠AQR……………………………………1分

∴AQ=AR…………………………………………1分

(2)成立，依旧有AR=AQ………………………1分

补充的图如图所示………………1分

∵△ABC为等腰三角形

∴∠C=∠ABC………………1分

∵PQ⊥PC

∴∠C+∠R=90°

∠Q+∠PBQ=90°…………1分

∵PBQ=∠ABC

∴∠R=∠Q…………………1分

∴AR=AQ……………………1分

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