12.解：(1)将点O(0,0)代入，解得m=±1，

二次函数关系式为y=x2+2x或y=x2-2x.

(2)当m=2时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，

∴D(2，-1).当x=0时，y=3，∴C(0,3).

(3)存在.接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求.

由C(0,3)，D(2，-1)求得直线CD为y=-2x+3.

当y=0时，x=32，∴P32，0.

13.解：(1)将M(-2，-2)代入抛物线解析式，得

-2=1a(-2-2)(-2+a)，

解得a=4.

(2)①由(1)，得y=14(x-2)(x+4)，

当y=0时，得0=14(x-2)(x+4)，

解得x1=2，x2=-4.

∵点B在点C的左侧，∴B(-4,0)，C(2,0).

当x=0时，得y=-2，即E(0，-2).

∴S△BCE=12×6×2=6.

②由抛物线解析式y=14(x-2)(x+4)，得对称轴为直线x=-1，

根据C与B关于抛物线对称轴x=-1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求.

设直线BE的解析式为y=kx+b，

将B(-4,0)与E(0，-2)代入，得-4k+b=0，b=-2，

解得k=-12，b=-2.∴直线BE的解析式为y=-12x-2.

将x=-1代入，得y=12-2=-32，

则点H-1，-32.

14.(1)证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，

∴抛物线的对称轴为x=2，即-n2m=2，

化简，得n+4m=0.

(2)解：∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0

∴OA=-x1，OB=x2，x1+x2=-nm，x1•x2=pm.

令x=0，得y=p，∴C(0，p).∴OC=|p|.

由三角函数定义，得tan∠CAO=OCOA=-|p|x1，tan∠CBO=OCOB=|p|x2.

∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-|p|x1-|p|x2=1.

化简，得x1+x2x1•x2=-1|p|.

将x1+x2=-nm，x1•x2=pm代入，得-nmpm=-1|p|化简，得⇒n=p|p|=±1.

由(1)知n+4m=0，

∴当n=1时，m=-14;当n=-1时，m=14.

∴m，n的值为：m=14，n=-1(此时抛物线开口向上)或m=-14，n=1(此时抛物线开口向下).

(3)解：由(2)知，当p>0时，n=1，m=-14，

∴抛物线解析式为：y=-14x2+x+p.

联立抛物线y=-14x2+x+p与直线y=x+3解析式得到-14x2+x+p=x+3，

化简，得x2-4(p-3)=0.

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，

∴一元二次方程根的判别式等于0，

即Δ=02+16(p-3)=0，解得p=3.

∴y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.

当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4.